Informações relevantes: os elementos da coluna 3 são 0,0,-3,3 (nas linhas 1,2,3,4 respectivamente). O objetivo final é obter o valor numérico de \det\text{(C)}.]
Passo 2
Escolhendo o método: como a coluna 3 tem dois zeros (nas linhas 1 e 2), é vantajoso usar a expansão por co-fatores (expansão de Laplace) ao longo dessa coluna — isso reduz bastante o trabalho. Vou explicar o que é essa expansão.
A fórmula da expansão de Laplace ao longo da coluna j diz
onde a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j de C, e M_{ij} é a matriz obtida de C eliminando a linha i e a coluna j (chamada de menor correspondente). Aqui j=3. Como a_{1 3}=0 e a_{2 3}=0, só precisamos das contribuições das linhas 3 e 4.
Passo 3
Anotando os elementos não nulos da coluna 3:
a_{3 3}=-3,\qquad a_{4 3}=3.
Agora escrevo os menores correspondentes (peguei as linhas e colunas diretamente da matriz C):
Logo agora só falta calcular os dois determinantes 3\times 3.
Passo 5
Regra para 3\times 3 (fórmula de Sarrus): para
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(A)=a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h.
Aqui cada produto é fácil de calcular; vou aplicar essa fórmula em cada menor. (Explico: os três termos positivos são as diagonais que “descem” quando repetimos as duas primeiras colunas à direita; os três negativos são as diagonais que “sobem”.)]