Para as matrizes a seguir, calcule o determinante:
C=\left(\begin{array}{cccc}3 & 3 & 0 & 5 \\\\ 2 & 2 & 0 & -2 \\\\ 4 & 1 & -3 & 0 \\\\ 2 & 0 & 3 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz C. A matriz fornecida é
C=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 & 5\\[4pt] 2 & 2 & 0 & -2\\[4pt] 4 & 1 & -3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da coluna 3 são 0,0,-3,3 (nas linhas 1,2,3,4 respectivamente). O objetivo final é obter o valor numérico de \det\text{(C)}.]

Passo 2

Escolhendo o método: como a coluna 3 tem dois zeros (nas linhas 1 e 2), é vantajoso usar a expansão por co-fatores (expansão de Laplace) ao longo dessa coluna — isso reduz bastante o trabalho. Vou explicar o que é essa expansão.
A fórmula da expansão de Laplace ao longo da coluna j diz
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{4} a_{i j}(-1)^{i+j}\det(M_{i j}),
onde a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j de C, e M_{ij} é a matriz obtida de C eliminando a linha i e a coluna j (chamada de menor correspondente). Aqui j=3. Como a_{1 3}=0 e a_{2 3}=0, só precisamos das contribuições das linhas 3 e 4.

Passo 3

Anotando os elementos não nulos da coluna 3:
a_{3 3}=-3,\qquad a_{4 3}=3.
Agora escrevo os menores correspondentes (peguei as linhas e colunas diretamente da matriz C):
Menor M_{3 3} (eliminando linha 3 e coluna 3):
M_{3 3}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Menor M_{4 3} (eliminando linha 4 e coluna 3):
M_{4 3}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicando a fórmula de Laplace apenas nas linhas 3 e 4 (coluna 3):
\det\text{(C)}=a_{3 3}(-1)^{3+3}\det(M_{3 3})+a_{4 3}(-1)^{4+3}\det(M_{4 3}).
Como (-1)^{3+3}=1 e (-1)^{4+3}=-1, substituindo a_{33}=-3 e a_{43}=3 obtemos
\det\text{(C)}=-3\det(M_{3 3})-3\det(M_{4 3})=-3\big(\det(M_{3 3})+\det(M_{4 3})\big).
Logo agora só falta calcular os dois determinantes 3\times 3.

Passo 5

Regra para 3\times 3 (fórmula de Sarrus): para
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(A)=a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h.
Aqui cada produto é fácil de calcular; vou aplicar essa fórmula em cada menor. (Explico: os três termos positivos são as diagonais que “descem” quando repetimos as duas primeiras colunas à direita; os três negativos são as diagonais que “sobem”.)]

Passo 6

Calculo de \det(M_{3 3}) para
M_{3 3}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Identificando a=3, b=3, c=5, d=2, e=2, f=-2, g=2, h=0, i=2.
Usando Sarrus:
\begin{aligned} a e i &= 3\cdot 2\cdot 2 = 12,\\[4pt] b f g &= 3\cdot(-2)\cdot 2 = -12,\\[4pt] c d h &= 5\cdot 2\cdot 0 = 0. \end{aligned}
Soma dos positivos =12-12+0=0.
Agora os termos negativos:
\begin{aligned} c e g &= 5\cdot 2\cdot 2 = 20,\\[4pt] b d i &= 3\cdot 2\cdot 2 = 12,\\[4pt] a f h &= 3\cdot(-2)\cdot 0 = 0. \end{aligned}
Soma dos negativos =20+12+0=32.
Portanto
\det(M_{3 3})=0-32=-32.]

Passo 7

Calculo de \det(M_{4 3}) para
M_{4 3}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Identificando a=3, b=3, c=5, d=2, e=2, f=-2, g=4, h=1, i=0.
Positivos:
\begin{aligned} a e i &= 3\cdot 2\cdot 0 = 0,\\[4pt] b f g &= 3\cdot(-2)\cdot 4 = -24,\\[4pt] c d h &= 5\cdot 2\cdot 1 = 10. \end{aligned}
Soma dos positivos =0-24+10=-14.
Negativos:
\begin{aligned} c e g &= 5\cdot 2\cdot 4 = 40,\\[4pt] b d i &= 3\cdot 2\cdot 0 = 0,\\[4pt] a f h &= 3\cdot(-2)\cdot 1 = -6. \end{aligned}
Soma dos negativos =40+0+(-6)=34.
Portanto
\det(M_{4 3})=-14-34=-48.]

Passo 8

Voltando à expressão da Passo 4:
\det\text{(C)}=-3\big(\det(M_{3 3})+\det(M_{4 3})\big)=-3\big((-32)+(-48)\big)=-3\cdot(-80)=240.
Interpretação rápida: os dois menores deram números negativos, sua soma é -80, e o fator -3 transforma isso em 240.

Resposta

\det\text{(C)}=240

Exercícios relacionados