Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 4 & 0 & 2\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right) D=\left(\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 1\end{array}\right).
Calcule:
(a) O determinante das matrizes A, B, C e D.
(b) A matriz cofator das matrizes A, B e C.
(c) A matriz inversa, se existir, das matrizes A, B e C pela fórmula M^{-1}=\frac{\bar{M}}{\operatorname{det}(M)}.
Resposta: (a) \operatorname{det}(A)=1,(b) \operatorname{det}(B)=-30,\text{(c)} \operatorname{det}\text{(C)}=-2 e (d) \operatorname{det}(D)=21.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 1 & -3\\[4pt]4 & 0 & 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 7 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 5 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Pede-se:
(a) calcular \det(A),\det(B),\det\text{(C)},\det(D);
(b) obter a matriz cofator (matriz dos cofatores) de A,B,C;
(c) obter a inversa de A,B,C pela fórmula \;M^{-1}=\dfrac{\overline{M}}{\det(M)}\;, onde \overline{M} é a adjunta (adjugate), isto é, a transposta da matriz dos cofatores.
As informações dadas são exatamente as entradas das matrizes acima. A partir daqui vamos calcular passo a passo.]

Passo 2

Definição rápida (didática): para uma matriz n\times n,
  • o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j;
  • o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij};
  • a matriz cofator é a matriz cujas entradas são C_{ij};
  • a adjunta (ou adjugate) \overline{M} é a transposta da matriz cofator;
  • a inversa, se \det(M)\neq0, é M^{-1}=\dfrac{\overline{M}}{\det(M)}.
Agora calculamos os determinantes, começando por A.

Passo 3

Cálculo de \det(A).
Para 2\times2 a fórmula é \det\!\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a=1,b=1,c=1,d=2. Então
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1=1.]

Passo 4

Cálculo de \det(B) por expansão na primeira linha (fórmula para 3\times3).
Escrevendo a primeira linha (-1,2,1) e usando sinais +,-,+:
\det(B)=(-1)\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2 - 0\cdot(-3)=2,
\det\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}=0\cdot 2 - 4\cdot(-3)=12,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix}=0\cdot 0 - 4\cdot 1=-4.
Substituindo:
\det(B)=(-1)\cdot 2 -2\cdot 12 + 1\cdot (-4) = -2 -24 -4 = -30.]

Passo 5

Cálculo de \det\text{(C)}. Fazemos uma operação de linha para simplificar (subtrair linha 1 de linha 4()), que não altera o determinante:
\text{linha }4 \leftarrow \text{linha }4 - \text{linha }1
fica a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante pela primeira coluna (só o primeiro elemento é não nulo na primeira coluna), obtemos o determinante igual ao determinante do menor 3\times3 obtido removendo linha 1 e coluna 1:
\det\text{(C)}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos este 3\times3 por expansão pela primeira linha:
\det=\;1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots).
Os menores valem
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot 0 -(-1)\cdot 1 = 1.
Logo \det\text{(C)}=1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1 -1 = -2.])

Passo 6

Cálculo de \det(D). Observando D, podemos anular o elemento 2 em posição (4,1) fazendo \text{linha }4 \leftarrow \text{linha }4 - 2\cdot\text{linha }1 (operações do tipo L_i\leftarrow L_i + kL_j não mudam o determinante). Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 7 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora expandindo pela primeira coluna: apenas o elemento 1 em (1,1) contribui, então
\det(D)=1\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A matriz 4\times4 acima tem a forma em blocos
\begin{pmatrix}A & 0\\[4pt]B & C\end{pmatrix}
com A=\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]0&7\end{pmatrix} e C=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}. Para matrizes em bloco com o bloco superior direito nulo vale \det=\det(A)\det\text{(C)}. Portanto
\det(D)=\det(A)\det\text{(C)}=(3\cdot 7)\cdot 1 =21.]

Passo 7

Agora calculamos as matrizes cofator. Lembrando: C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o determinante do menor que se obtém removendo linha i e coluna j.
Primeiro A ( 2\times2). Os menores:
M_{11}=2,\quad M_{12}=1,\quad M_{21}=1,\quad M_{22}=1.
Os cofatores com sinais:
\text{matriz dos cofatores de }A=\begin{pmatrix} (+)\,2 & (-)\,1\\[4pt] (-)\,1 & (+)\,1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Matriz cofator de B ( 3\times3). Calculamos cada menor e aplicamos o sinal:
Menores M_{ij} e cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&-3\\[4pt]0&2\end{pmatrix}=2\Rightarrow C_{11}=+2.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}0&-3\\[4pt]4&2\end{pmatrix}=12\Rightarrow C_{12}=-12.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]4&0\end{pmatrix}=-4\Rightarrow C_{13}= -4 (sinal +).
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&2\end{pmatrix}=4\Rightarrow C_{21}=-4.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}-1&1\\[4pt]4&2\end{pmatrix}=-6\Rightarrow C_{22}=-6.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}-1&2\\[4pt]4&0\end{pmatrix}=-8\Rightarrow C_{23}=+8 (sinal - aplicado a -8 +8).
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]1&-3\end{pmatrix}=-7\Rightarrow C_{31}=-7.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}-1&1\\[4pt]0&-3\end{pmatrix}=3\Rightarrow C_{32}=-3.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}-1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=-1\Rightarrow C_{33}=-1.
Portanto a matriz dos cofatores de B é
\begin{pmatrix} 2 & -12 & -4\\[4pt] -4 & -6 & 8\\[4pt] -7 & -3 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Matriz cofator de C ( 4\times4). Vamos listar os menores e cofatores que já calculamos cuidadosamente (cada M_{ij} é o determinante do 3\times3 obtido ao remover linha i e coluna j):
Calculados:
\begin{array}{llll} M_{11}=-1, & C_{11}=(-1)^{2}(-1)=-1, & M_{12}=1, & C_{12}=(-1)^{3}(1)=-1,\\[4pt] M_{13}=1, & C_{13}=+1, & M_{14}=1, & C_{14}=-1,\\[4pt] M_{21}=-1, & C_{21}=+1, & M_{22}=-1, & C_{22}=-1,\\[4pt] M_{23}=1, & C_{23}=-1, & M_{24}=1, & C_{24}=+1,\\[4pt] M_{31}=0, & C_{31}=0, & M_{32}=0, & C_{32}=0,\\[4pt] M_{33}=0, & C_{33}=0, & M_{34}=2, & C_{34}=-2,\\[4pt] M_{41}=1, & C_{41}=-1, & M_{42}=1, & C_{42}=+1,\\[4pt] M_{43}=1, & C_{43}=-1, & M_{44}=1, & C_{44}=+1. \end{array}
Assim a matriz dos cofatores de C é
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora construímos as adjuntas (transposta da matriz dos cofatores) e as inversas usando M^{-1}=\dfrac{\overline{M}}{\det(M)}.
Para A:
  • matriz cofator de A é \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}. A adjunta \overline{A} é a transposta (aqui a matriz já é simétrica), então
\overline{A}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},\qquad \det(A)=1.
Logo
A^{-1}=\frac{\overline{A}}{\det(A)}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 11

Para B:
  • matriz dos cofatores de B é
\begin{pmatrix} 2 & -12 & -4\\[4pt] -4 & -6 & 8\\[4pt] -7 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta:
\overline{B}=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -7\\[4pt] -12 & -6 & -3\\[4pt] -4 & 8 & -1 \end{pmatrix}.
Como \det(B)=-30, temos
B^{-1}=\frac{\overline{B}}{\det(B)}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix} 2 & -4 & -7\\[4pt] -12 & -6 & -3\\[4pt] -4 & 8 & -1 \end{pmatrix}.
Podemos simplificar cada entrada em frações:
B^{-1}=\begin{pmatrix} -\,\dfrac{1}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{30}\\[6pt] \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{10}\\[6pt] \dfrac{2}{15} & -\,\dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{30} \end{pmatrix}.]

Passo 12

Para C:
  • a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta:
\overline{C}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det\text{(C)}=-2, então
C^{-1}=\frac{\overline{C}}{\det\text{(C)}}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Simplificando os sinais/frações:
C^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & 1\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\det(A)=1
\det(B)=-30
\det\text{(C)}=-2
\det(D)=21
matriz cofator de A:
\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}
matriz cofator de B:
\begin{pmatrix} 2 & -12 & -4\\[4pt] -4 & -6 & 8\\[4pt] -7 & -3 & -1 \end{pmatrix}
matriz cofator de C:
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix} -\,\dfrac{1}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{30}\\[6pt] \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{10}\\[6pt] \dfrac{2}{15} & -\,\dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{30} \end{pmatrix}
C^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & 1\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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