Pede-se:
(a) calcular \det(A),\det(B),\det\text{(C)},\det(D);
(b) obter a matriz cofator (matriz dos cofatores) de A,B,C;
(c) obter a inversa de A,B,C pela fórmula \;M^{-1}=\dfrac{\overline{M}}{\det(M)}\;, onde \overline{M} é a adjunta (adjugate), isto é, a transposta da matriz dos cofatores.
As informações dadas são exatamente as entradas das matrizes acima. A partir daqui vamos calcular passo a passo.]
Passo 2
Definição rápida (didática): para uma matriz n\times n,
o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j;
o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij};
a matriz cofator é a matriz cujas entradas são C_{ij};
a adjunta (ou adjugate) \overline{M} é a transposta da matriz cofator;
a inversa, se \det(M)\neq0, é M^{-1}=\dfrac{\overline{M}}{\det(M)}.
Agora calculamos os determinantes, começando por A.
Passo 3
Cálculo de \det(A).
Para 2\times2 a fórmula é \det\!\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a=1,b=1,c=1,d=2. Então
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1=1.]
Passo 4
Cálculo de \det(B) por expansão na primeira linha (fórmula para 3\times3).
Escrevendo a primeira linha (-1,2,1) e usando sinais +,-,+:
Expandindo o determinante pela primeira coluna (só o primeiro elemento é não nulo na primeira coluna), obtemos o determinante igual ao determinante do menor 3\times3 obtido removendo linha 1 e coluna 1:
Logo \det\text{(C)}=1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1 -1 = -2.])
Passo 6
Cálculo de \det(D). Observando D, podemos anular o elemento 2 em posição (4,1) fazendo \text{linha }4 \leftarrow \text{linha }4 - 2\cdot\text{linha }1 (operações do tipo L_i\leftarrow L_i + kL_j não mudam o determinante). Ficamos com
com A=\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]0&7\end{pmatrix} e C=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}. Para matrizes em bloco com o bloco superior direito nulo vale \det=\det(A)\det\text{(C)}. Portanto
Agora calculamos as matrizes cofator. Lembrando: C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o determinante do menor que se obtém removendo linha i e coluna j.
Matriz cofator de C (4\times4). Vamos listar os menores e cofatores que já calculamos cuidadosamente (cada M_{ij} é o determinante do 3\times3 obtido ao remover linha i e coluna j):