Podemos afirmar que toda matriz quadrada pode se expressa como produto de matrizes elementares ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda matriz quadrada pode ser escrita como produto de matrizes elementares.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O objeto em questão é “matriz quadrada” (ou seja, matrizes n\times n para algum n).
  • A pergunta é se TODAS essas matrizes podem ser expressas como produto de matrizes elementares.
    O que precisamos responder e justificar: dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e apresentar uma justificativa clara e completa (com explicação do que são matrizes elementares e por que a propriedade vale ou não).

Passo 2

Definição e exemplo do que são matrizes elementares (isso é fundamental).
  • Matrizes elementares são matrizes obtidas aplicando-se uma única operação elementar de linha à matriz identidade I_n. Cada operação elementar de linha tem um efeito equivalente a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda.
  • Há três tipos de operações elementares de linha (e, portanto, três tipos de matrizes elementares):
    1. trocar duas linhas: ex., trocar a linha i com a linha j. A matriz elementar correspondente denotamos por E_{\text{swap}(i,j)}.
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: ex., multiplicar a linha i por \alpha, \alpha\neq0. A matriz elementar correspondente denotamos por E_{\text{scale}(i,\alpha)}.
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: ex., substituir a linha i por \text{linha }i + \beta\cdot\text{linha }j. A matriz elementar correspondente denotamos por E_{\text{add}(i,j,\beta)}.
  • Exemplo concreto: se I_n é a identidade, e eu quero somar \beta vezes a linha j na linha i, então a matriz elementar tem todas as entradas iguais às de I_n exceto na posição (i,j) onde aparece \beta.

Passo 3

Propriedade importante: cada matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar. Explico cada tipo:
  • Para troca de linhas: trocar i e j é sua própria inversa. Logo \bigl(E_{\text{swap}(i,j)}\bigr)^{-1}=E_{\text{swap}(i,j)}.
  • Para escala de linha por \alpha\neq0: a inversa é escala por \alpha^{-1}. Ou seja, \bigl(E_{\text{scale}(i,\alpha)}\bigr)^{-1}=E_{\text{scale}(i,\alpha^{-1})}.
  • Para adicionar \beta vezes a linha j na linha i: a inversa é adicionar -\beta vezes a linha j na linha i. Ou seja, \bigl(E_{\text{add}(i,j,\beta)}\bigr)^{-1}=E_{\text{add}(i,j,-\beta)}.
    Conclusão desta etapa: todas as matrizes elementares são invertíveis e suas inversas são matrizes elementares.

Passo 4

Consequência direta: produto de matrizes elementares é invertível.
Justificativa: se E_1,\dots,E_k são matrizes elementares então cada E_i é invertível; o produto E_1E_2\cdots E_k tem inversa \bigl(E_k\bigr)^{-1}\cdots\bigl(E_1\bigr)^{-1}, portanto é invertível.
Logo: se uma matriz A pode ser escrita como produto de matrizes elementares então A é necessariamente invertível. Em outras palavras, matrizes singulares (não invertíveis) NÃO podem ser produto de matrizes elementares. Isso já dá uma negação imediata à afirmação “toda matriz quadrada”: nem toda matriz quadrada é produto de matrizes elementares — pelo menos as singulares não o são.

Passo 5

Agora a implicação contrária: toda matriz quadrada invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Vou mostrar por eliminação de Gauss (argumento padrão):
  • Seja A uma matriz quadrada invertível de ordem n. Aplicando uma sequência de operações elementares de linha podemos transformar A na identidade I_n (isso porque A é invertível, o sistema A x = e_i tem solução para cada e_i, e o processo de eliminação encontra essas transformações). Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar A à esquerda por alguma matriz elementar. Assim existe uma sequência E_k,\dots,E_1 de matrizes elementares tal que
E_k\cdots E_1 A = I_n.
  • Multiplicando à direita por A^{-1} ou simplesmente reorganizando, obtemos
A = \bigl(E_k\cdots E_1\bigr)^{-1}.
  • Usando a propriedade do passo 3, \bigl(E_k\cdots E_1\bigr)^{-1} = E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}, e cada E_i^{-1} é uma matriz elementar. Portanto A é produto de matrizes elementares:
A = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}.
Conclusão desta etapa: toda matriz quadrada invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares.

Passo 6

Um exemplo explícito para fixar a ideia e reforçar a negação para matrizes singulares:
  • Considere a matriz nula 0_{n\times n} (todas as entradas zero). Essa matriz não é invertível. Se existisse uma escrita 0 = E_1\cdots E_k com E_i elementares, pela propriedade do passo 4 o produto à direita seria invertível — contradição, porque 0 não é invertível. Portanto 0_{n\times n} (e, em geral, qualquer matriz singular) não pode ser escrita como produto de matrizes elementares.

Passo 7

Resumo e interpretação final do que provamos:
  • Se A é produto de matrizes elementares então A é invertível.
  • Se A é invertível então A é produto de matrizes elementares.
    Portanto há equivalência: ser produto de matrizes elementares é exatamente a mesma coisa que ser invertível.

Resposta

Não. Uma matriz quadrada A é produto de matrizes elementares se, e somente se, A for invertível (ou seja, apenas as matrizes quadradas invertíveis podem ser expressas como produto de matrizes elementares).

Exercícios relacionados