Podemos afirmar que toda matriz quadrada pode se expressa como produto de matrizes elementares ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda matriz quadrada pode ser escrita como produto de matrizes elementares.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O objeto em questão é “matriz quadrada” (ou seja, matrizes
para algum ). - A pergunta é se TODAS essas matrizes podem ser expressas como produto de matrizes elementares.
O que precisamos responder e justificar: dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e apresentar uma justificativa clara e completa (com explicação do que são matrizes elementares e por que a propriedade vale ou não).
Passo 2
Definição e exemplo do que são matrizes elementares (isso é fundamental).
- Matrizes elementares são matrizes obtidas aplicando-se uma única operação elementar de linha à matriz identidade
. Cada operação elementar de linha tem um efeito equivalente a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda. - Há três tipos de operações elementares de linha (e, portanto, três tipos de matrizes elementares):
- trocar duas linhas: ex., trocar a linha
com a linha . A matriz elementar correspondente denotamos por . - multiplicar uma linha por um escalar não nulo: ex., multiplicar a linha
por , . A matriz elementar correspondente denotamos por . - adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: ex., substituir a linha
por . A matriz elementar correspondente denotamos por .
- trocar duas linhas: ex., trocar a linha
- Exemplo concreto: se
é a identidade, e eu quero somar vezes a linha na linha , então a matriz elementar tem todas as entradas iguais às de exceto na posição onde aparece .
Passo 3
Propriedade importante: cada matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar. Explico cada tipo:
- Para troca de linhas: trocar
e é sua própria inversa. Logo . - Para escala de linha por
: a inversa é escala por . Ou seja, . - Para adicionar
vezes a linha na linha : a inversa é adicionar vezes a linha na linha . Ou seja, .
Conclusão desta etapa: todas as matrizes elementares são invertíveis e suas inversas são matrizes elementares.
Passo 4
Consequência direta: produto de matrizes elementares é invertível.
Justificativa: se são matrizes elementares então cada
é invertível; o produto
tem inversa
, portanto é invertível.
Logo: se uma matriz pode ser escrita como produto de matrizes elementares então
é necessariamente invertível. Em outras palavras, matrizes singulares (não invertíveis) NÃO podem ser produto de matrizes elementares. Isso já dá uma negação imediata à afirmação “toda matriz quadrada”: nem toda matriz quadrada é produto de matrizes elementares — pelo menos as singulares não o são.
Justificativa: se
Logo: se uma matriz
Passo 5
Agora a implicação contrária: toda matriz quadrada invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Vou mostrar por eliminação de Gauss (argumento padrão):
- Seja
uma matriz quadrada invertível de ordem . Aplicando uma sequência de operações elementares de linha podemos transformar na identidade (isso porque é invertível, o sistema tem solução para cada , e o processo de eliminação encontra essas transformações). Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar à esquerda por alguma matriz elementar. Assim existe uma sequência de matrizes elementares tal que
- Multiplicando à direita por
ou simplesmente reorganizando, obtemos
- Usando a propriedade do passo 3,
, e cada é uma matriz elementar. Portanto é produto de matrizes elementares:
Conclusão desta etapa: toda matriz quadrada invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares.
Passo 6
Um exemplo explícito para fixar a ideia e reforçar a negação para matrizes singulares:
- Considere a matriz nula
(todas as entradas zero). Essa matriz não é invertível. Se existisse uma escrita com elementares, pela propriedade do passo 4 o produto à direita seria invertível — contradição, porque não é invertível. Portanto (e, em geral, qualquer matriz singular) não pode ser escrita como produto de matrizes elementares.
Passo 7
Resumo e interpretação final do que provamos:
- Se
é produto de matrizes elementares então é invertível. - Se
é invertível então é produto de matrizes elementares.
Portanto há equivalência: ser produto de matrizes elementares é exatamente a mesma coisa que ser invertível.
Resposta
Não. Uma matriz quadrada
é produto de matrizes elementares se, e somente se,
for invertível (ou seja, apenas as matrizes quadradas invertíveis podem ser expressas como produto de matrizes elementares).