O que o enunciado pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Informações relevantes dadas: os coeficientes das variáveis e os termos independentes (lado direito) das três equações, que serão usados para formar a matriz dos coeficientes e os vetores necessários para aplicar a técnica pedida (substituir colunas pelos termos independentes).]
Passo 2
Breve explicação da técnica que vamos usar (passo a passo como se estivéssemos na prova). A regra de Cramer diz o seguinte para um sistema linear 3×3:
Seja A a matriz dos coeficientes do sistema.
Seja \det(A) o determinante de A.
Se \det(A)\neq 0, o sistema tem solução única dada por
onde A_x é a matriz obtida de A substituindo a primeira coluna pelos termos independentes, A_y substitui a segunda coluna, e A_z substitui a terceira coluna.
Para calcular determinantes 3\times3 vou usar a “regra de Sarrus” (fácil de aplicar): para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\;(c e g + a f h + b d i).
Vou aplicar isso de forma explícita em cada determinante.]
Passo 3
Formo a matriz dos coeficientes A a partir das equações:
Avalio os produtos:
Primeira soma: 6\cdot(-1)\cdot(-3)=18,\; (-4)\cdot2\cdot(-20)=160,\; 1\cdot(-1)\cdot2=-2. Soma = 18+160-2=176.
Segunda soma (a subtrair): 1\cdot(-1)\cdot(-20)=20,\; 6\cdot2\cdot2=24,\; (-4)\cdot(-1)\cdot(-3)=-12. Soma = 20+24-12=32.
Logo
\det(A_x)=176-32=144.]
Passo 5
Construo a matriz A_y substituindo a segunda coluna por (6,-1,-20):
Avalio:
Primeira soma: 1\cdot(-1)\cdot(-3)=3,\; 6\cdot2\cdot2=24,\; 1\cdot4\cdot(-20)=-80. Soma = 3+24-80=-53.
Segunda soma: 1\cdot(-1)\cdot2=-2,\; 1\cdot2\cdot1=2,\; 6\cdot4\cdot(-3)=-72. Soma = -2+2-72=-72.
Então
\det(A_y)=(-53)-(-72)=19\\ ? Ops, atenção: reavalio a segunda soma cuidadosamente: ela é -2+2-72=-72. Então \det(A_y)=(-53)-(-72)=19. Contudo no cálculo anterior encontrei 61. Percebi que houve erro nesta linha — vou recalcular usando expansão pela primeira linha (mais claro): Expansão pela primeira linha: \det(A_y)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-20 & -3\end{pmatrix} - 6\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & -20\end{pmatrix}.
Simplifico a fração de z: dividindo numerador e denominador por 5,
\frac{230}{55}=\frac{46}{11}.
Passo 8
Resumo final dos resultados (pronto para conferir rápido na prova): \;x=-\tfrac{144}{55},\; y=-\tfrac{61}{55},\; z=\tfrac{46}{11}. Se quiser conferir, dá pra substituir esses valores nas equações originais e verificar que as igualdades se mantêm (é um cheque mecânico, bom para evitar erro de cálculo).