Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas:
\left\{\begin{aligned} x-4 y+z & =6 \\\\ 4 x-y+2 z & =-1 \\\\ 2 x+2 y-3 z & =-20\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema fornecido é
\begin{cases} x-4y+z=6\\[4pt] 4x-y+2z=-1\\[4pt] 2x+2y-3z=-20 \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Informações relevantes dadas: os coeficientes das variáveis e os termos independentes (lado direito) das três equações, que serão usados para formar a matriz dos coeficientes e os vetores necessários para aplicar a técnica pedida (substituir colunas pelos termos independentes).]

Passo 2

Breve explicação da técnica que vamos usar (passo a passo como se estivéssemos na prova). A regra de Cramer diz o seguinte para um sistema linear 3×3:
  • Seja A a matriz dos coeficientes do sistema.
  • Seja \det(A) o determinante de A.
  • Se \det(A)\neq 0, o sistema tem solução única dada por
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida de A substituindo a primeira coluna pelos termos independentes, A_y substitui a segunda coluna, e A_z substitui a terceira coluna.
Para calcular determinantes 3\times3 vou usar a “regra de Sarrus” (fácil de aplicar): para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\;(c e g + a f h + b d i).
Vou aplicar isso de forma explícita em cada determinante.]

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes A a partir das equações:
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1\\[4pt] 4 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A) pela regra de Sarrus. Usando a fórmula
\det(A)=1\cdot(-1)\cdot(-3)+(-4)\cdot 2\cdot 2+1\cdot 4\cdot 2 \;-\;\bigl(1\cdot(-1)\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot 1 + (-4)\cdot 4\cdot(-3)\bigr).
Agora avalio os produtos:
1\cdot(-1)\cdot(-3)=3,\quad (-4)\cdot2\cdot2=-16,\quad 1\cdot4\cdot2=8,
soma das três primeiras = 3-16+8=-5.
Os termos subtraídos:
1\cdot(-1)\cdot2=-2,\quad 1\cdot2\cdot1=4,\quad (-4)\cdot4\cdot(-3)=48,
soma = -2+4+48=50.
Portanto
\det(A)=(-5)-50=-55.
Como \det(A)=-55\neq0, existe solução única e podemos aplicar a regra de Cramer.]

Passo 4

Construo a matriz A_x substituindo a primeira coluna por (6,-1,-20):
A_x=\begin{pmatrix} 6 & -4 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 2\\[4pt] -20 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_x) pela regra de Sarrus:
\det(A_x)=6\cdot(-1)\cdot(-3)+(-4)\cdot2\cdot(-20)+1\cdot(-1)\cdot2 \;-\;\bigl(1\cdot(-1)\cdot(-20)+6\cdot2\cdot2+(-4)\cdot(-1)\cdot(-3)\bigr).
Avalio os produtos:
Primeira soma: 6\cdot(-1)\cdot(-3)=18,\; (-4)\cdot2\cdot(-20)=160,\; 1\cdot(-1)\cdot2=-2. Soma = 18+160-2=176.
Segunda soma (a subtrair): 1\cdot(-1)\cdot(-20)=20,\; 6\cdot2\cdot2=24,\; (-4)\cdot(-1)\cdot(-3)=-12. Soma = 20+24-12=32.
Logo
\det(A_x)=176-32=144.]

Passo 5

Construo a matriz A_y substituindo a segunda coluna por (6,-1,-20):
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 1\\[4pt] 4 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -20 & -3 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_y) pela regra de Sarrus:
\det(A_y)=1\cdot(-1)\cdot(-3)+6\cdot2\cdot2+1\cdot4\cdot(-20) \;-\;\bigl(1\cdot(-1)\cdot2+1\cdot2\cdot1+6\cdot4\cdot(-3)\bigr).
Avalio:
Primeira soma: 1\cdot(-1)\cdot(-3)=3,\; 6\cdot2\cdot2=24,\; 1\cdot4\cdot(-20)=-80. Soma = 3+24-80=-53.
Segunda soma: 1\cdot(-1)\cdot2=-2,\; 1\cdot2\cdot1=2,\; 6\cdot4\cdot(-3)=-72. Soma = -2+2-72=-72.
Então
\det(A_y)=(-53)-(-72)=19\\ ? Ops, atenção: reavalio a segunda soma cuidadosamente: ela é -2+2-72=-72. Então \det(A_y)=(-53)-(-72)=19. Contudo no cálculo anterior encontrei 61. Percebi que houve erro nesta linha — vou recalcular usando expansão pela primeira linha (mais claro): Expansão pela primeira linha: \det(A_y)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-20 & -3\end{pmatrix} - 6\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & -20\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-20 & -3\end{pmatrix}=(-1)(-3)-2(-20)=3+40=43,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix}=4(-3)-2\cdot2=-12-4=-16,
\det\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & -20\end{pmatrix}=4(-20)-(-1)\cdot2=-80+2=-78.
Substituindo:
\det(A_y)=1\cdot 43 - 6\cdot(-16) + 1\cdot(-78)=43 +96 -78=61.
Portanto o valor correto é
\det(A_y)=61.
(Obs.: o primeiro cálculo por Sarrus teve erro de sinal na segunda soma; a verificação por expansão confirma \det(A_y)=61.)]

Passo 6

Construo a matriz A_z substituindo a terceira coluna por (6,-1,-20):
A_z=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\[4pt] 4 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 2 & -20 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_z) pela regra de Sarrus:
\det(A_z)=1\cdot(-1)\cdot(-20)+(-4)\cdot(-1)\cdot2+6\cdot4\cdot2 \;-\;\bigl(6\cdot(-1)\cdot2 + 1\cdot(-1)\cdot2 + (-4)\cdot4\cdot(-20)\bigr).
Avalio:
Primeira soma: 1\cdot(-1)\cdot(-20)=20,\; (-4)\cdot(-1)\cdot2=8,\; 6\cdot4\cdot2=48. Soma = 20+8+48=76.
Segunda soma: 6\cdot(-1)\cdot2=-12,\; 1\cdot(-1)\cdot2=-2,\; (-4)\cdot4\cdot(-20)=320. Soma = -12-2+320=306.
Logo
\det(A_z)=76-306=-230.]

Passo 7

Agora aplico as fórmulas da regra de Cramer:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{144}{-55}=-\frac{144}{55},
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{61}{-55}=-\frac{61}{55},
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{-230}{-55}=\frac{230}{55}.
Simplifico a fração de z: dividindo numerador e denominador por 5,
\frac{230}{55}=\frac{46}{11}.

Passo 8

Resumo final dos resultados (pronto para conferir rápido na prova): \;x=-\tfrac{144}{55},\; y=-\tfrac{61}{55},\; z=\tfrac{46}{11}. Se quiser conferir, dá pra substituir esses valores nas equações originais e verificar que as igualdades se mantêm (é um cheque mecânico, bom para evitar erro de cálculo).

Resposta

\displaystyle x=-\frac{144}{55}
\displaystyle y=-\frac{61}{55}
\displaystyle z=\frac{46}{11}

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