Um mau fabricante de termômetros construiu um termômetro que apresentava os seguintes erros:
1^{\circ} ) no ponto do gelo indicava +4^{\circ} \mathrm{C};
2.) no ponto do vapór d’água indicava 96^{\circ} \mathrm{C}.
Determine:
a) uma equação de correção para esse termômetro;

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • No ponto do gelo (temperatura verdadeira 0^\circ\mathrm{C}) o termômetro indica +4^\circ\mathrm{C}.
    • No ponto do vapor d’água (temperatura verdadeira 100^\circ\mathrm{C}) o termômetro indica 96^\circ\mathrm{C}.
  • O que se pede:
    • Determinar uma equação de correção para esse termômetro — ou seja, uma fórmula que relaciona a leitura indicada pelo termômetro à temperatura verdadeira.

Passo 2

Escolher um modelo de correção e explicar por quê.
  • É natural assumir que o erro do termômetro varia de forma linear entre os dois pontos de calibração (0 e 100^\circ\mathrm{C}). Muitos termômetros defeituosos apresentam deslocamento e/ou escala errada, o que é bem modelado por uma função afim (linear com coeficiente e termo constante).
  • Então vamos usar o modelo linear
x = aT + b,
onde:
  • T é a temperatura verdadeira em graus Celsius (o que queremos descobrir),
  • x é a leitura indicada pelo termômetro em graus Celsius,
  • a e b são constantes desconhecidas que representam, respectivamente, a escala (ganho) e o deslocamento do termômetro.

Passo 3

Usar os dois pontos de calibração para encontrar a e b.
  • Para o ponto do gelo: T=0 e x=4. Substituindo em x=aT+b obtemos
4 = a\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4.
  • Para o ponto do vapor: T=100 e x=96. Substituindo,
96 = a\cdot 100 + b.
Substituindo b=4,
96 = 100a + 4 \quad\Rightarrow\quad 100a = 92 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{92}{100} = 0,92.

Passo 4

Escrever a relação direta leitor → verdadeira e inverter para obter a fórmula de correção.
  • A relação direta entre leitura e temperatura verdadeira é
x = 0,92\,T + 4.
  • Para usar o termômetro na prova, normalmente precisamos da temperatura verdadeira T em função da leitura x. Isolando T:
x - 4 = 0,92\,T \quad\Rightarrow\quad T = \frac{x-4}{0,92}.

Passo 5

Simplificar a expressão para uma forma racional mais bonita (opcional, mas útil sem calculadora).
  • Como 0,92=\dfrac{92}{100}=\dfrac{23}{25}, a inversa é \dfrac{25}{23}. Portanto
T = \frac{25}{23}\,(x-4).

Passo 6

Verificação rápida nos pontos de calibração (para ganhar confiança no resultado).
  • Para x=4: T=\dfrac{25}{23}(4-4)=0 — OK.
  • Para x=96: T=\dfrac{25}{23}(96-4)=\dfrac{25}{23}\cdot92=\dfrac{25}{23}\cdot23\cdot4=25\cdot4=100 — OK.

Resposta

T=\frac{x-4}{0,92}=\frac{25}{23}\,(x-4)

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