Um termômetro mal construído assinala +1,0^{\circ} \mathrm{C} no ponto do gelo e 99^{\circ} \mathrm{C} no ponto do vapor d’água.
a) Obtenha uma equação de correção para esse termômetro.
b) Qual é o valor correto da temperatura (na escala Celsius), correspondente à leitura de 25,5^{\circ} \mathrm{C} em sua escala?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado (e a imagem) nos dão — peguei estes dados da imagem fornecida:
  • O termômetro incorreto assinala \,1,0^\circ\mathrm{C}\, no ponto do gelo (que corresponde ao verdadeiro 0^\circ\mathrm{C}).
  • O termômetro incorreto assinala \,99^\circ\mathrm{C}\, no ponto do vapor d’água (que corresponde ao verdadeiro \,100^\circ\mathrm{C}).
    O enunciado pede:
    (a) obter uma equação de correção que relaciona a leitura do termômetro incorreto com a temperatura correta na escala Celsius;
    (b) usar essa equação para calcular a temperatura correta quando o termômetro incorreto marca \,25,5^\circ\mathrm{C}\,.

Passo 2

Ideia matemática e variável: como o termômetro é linear (deslocamento e escala constantes), podemos afirmar que a temperatura correta \theta_C é uma função afim (linear com termo constante) da leitura errada \theta_E. Ou seja, assumimos a forma
\theta_C = a\,\theta_E + b,
onde:
  • \theta_E é a leitura do termômetro incorreto (escala “errada”);
  • \theta_C é a temperatura correta na escala Celsius;
  • a e b são constantes desconhecidas que determinam a correção (a inclinação e o deslocamento).
Explicação curta: uma transformação afim é a forma mais simples que preserva linearidade entre duas escalas de termômetro — é isso que costumamos usar para calibrar instrumentos com dois pontos conhecidos.

Passo 3

Usar os dois pontos de calibração para escrever duas equações para a e b.
  • Para o ponto do gelo: a imagem mostra que \theta_E = 1,0 corresponde a \theta_C = 0. Então
0 = a\cdot 1,0 + b.
  • Para o ponto do vapor: a imagem mostra que \theta_E = 99 corresponde a \theta_C = 100. Então
100 = a\cdot 99 + b.

Passo 4

Resolver o sistema de duas equações. Da primeira equação obtemos b em função de a:
0 = a\cdot 1,0 + b \quad\Rightarrow\quad b = -a\cdot 1,0.
Substituindo b na segunda equação:
100 = a\cdot 99 + (-a\cdot 1,0) = a(99 - 1,0) = a\cdot 98.
Logo
a = \frac{100}{98} = \frac{50}{49}.
E então
b = -a\cdot 1,0 = -\frac{50}{49}\cdot 1,0 = -\frac{50}{49}.

Passo 5

Escrever a equação de correção final, substituindo a e b:
\theta_C = \frac{50}{49}\,\theta_E - \frac{50}{49}.
Uma forma mais compacta e intuitiva é fatorar:
\theta_C = \frac{50}{49}\,(\theta_E - 1,0).
Essa é a resposta do item (a).

Passo 6

Aplicar a equação ao caso pedido: leitura \theta_E = 25,5^\circ\mathrm{C}. Usando a forma fatorada:
\theta_C = \frac{50}{49}\,(\,25,5 - 1,0\,) = \frac{50}{49}\cdot 24,5.
Calcular:
24,5 \cdot 50 = 1225,
\theta_C = \frac{1225}{49} = 25,0.
Portanto a temperatura correta correspondente à leitura \,25,5^\circ\mathrm{C}\, no termômetro incorreto é \,25,0^\circ\mathrm{C}\,.

Resposta

(a) \theta_C = \dfrac{50}{49}\,\theta_E - \dfrac{50}{49} = \dfrac{50}{49}(\theta_E - 1,0).
(b) \theta_C = 25,0^\circ\mathrm{C}.

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