Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^1 x(2 x+5)^8 d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x(2x+5)^8. O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição de variável, já que o integrando é um produto de x por uma potência de 2x+5.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 2x + 5, temos du = 2,dx ou dx = du2. Além disso, x = u - 52. Os limites mudam de acordo com x: quando x=0, u=5; quando x=1, u=7.

Passo 3

Substituindo no integrando:
integral0^1 x(2x+5)^8,dx = integralu=5^u=7 l(u-52r)u^8 du2 = 14integral5^7(u^9 -5u^8),du

Passo 4

Para integrar o polinômio, usamos a regra integral u^n du = u^n+1n+1. Assim,
integral (u^9 -5u^8),du = u^1010 -5u^99

Passo 5

Agora avaliamos entre u=5 e u=7 e multiplicamos o fator 1/4:
14l[l(7^1010-57^99r) - l(5^1010-55^99r)r] = 13cdot7^9 + 5^10360

Resposta

13cdot7^9 + 5^10360

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