(Maximização) Um agricultor pode produzir bois para o abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 hectares de pastagens e que exige uma hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa 60 hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de 8 unidades monetárias por boi e 21 unidades monetárias por tonelada de lã produzidas, respectivamente. Seus recursos produtivos são limitados a 500 hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de 24 horas de trabalho diárias. O produtor deseja seguir um plano que maximizasse seus lucros totais.
Passo 1
O enunciado pede que o produtor escolha um plano de produção que maximize seu lucro total anual, dado que ele pode produzir bois para abate e produzir lã (em toneladas) a partir de ovelhas. As informações relevantes fornecidas são as seguintes:
A produção de um boi por ano consome 11 hectares de pastagem e 1 hora de trabalho por dia, e rende 8 unidades monetárias por boi.
A produção de uma tonelada de lã por ano consome 60 hectares de pastagem e 2 horas de trabalho por dia, e rende 21 unidades monetárias por tonelada.
Recursos disponíveis: 500 hectares de pastagens e 24 horas de trabalho por dia (total, considerando os dois filhos).
O objetivo: escolher quantos bois e quantas toneladas de lã produzir por ano para maximizar o lucro total sujeito às limitações de pastagem e de trabalho.
Passo 2
Definimos variáveis que representam as decisões do produtor (isso deixa o problema em linguagem matemática):
Seja x o número de bois produzidos por ano.
Seja y o número de toneladas de lã produzidas por ano.
Explicando: x e y são as quantidades que queremos determinar. Eles devem ser não-negativos, ou seja, x\ge 0 e y\ge 0.
Passo 3
Escrevemos as restrições de recursos em forma de inequações lineares.
Restrição de pastagem: cada boi exige 11 hectares e cada tonelada de lã exige 60 hectares, e há 500 hectares disponíveis. Então
11x + 60y \le 500.
Restrição de trabalho (horas por dia): cada boi exige 1 hora/dia e cada tonelada de lã exige 2 horas/dia, dispondo-se de 24 horas/dia. Então
x + 2y \le 24.
Não negatividade:
x \ge 0,\quad y \ge 0.
A função lucro total a maximizar é a soma dos lucros por unidade produzida:
\text{lucro }=8x+21y.
Portanto o problema vira um problema de programação linear:
maximizar \;8x+21y\; sujeito a
Breve aula: por que resolver assim? Em problemas lineares com duas variáveis dá para usar o método gráfico ou usar a propriedade de que o máximo (ou mínimo) de uma função linear sobre uma região poligonal ocorre em um vértice (canto) da região viável. Logo basta calcular os vértices da região definida pelas restrições e comparar o valor da função objetivo nesses vértices. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 5
Calculamos os vértices (pontos candidatos) da região viável. Os vértices possíveis aparecem nas interseções das restrições (incluindo os eixos).
Interseção com os eixos:
Se y=0\): pelas restrições temos \(11x \le 500\) e \(x \le 24\). Assim \(x\) pode chegar até \(\min\!\left(\dfrac{500}{11},\,24\right)\). Calculamos \(\dfrac{500}{11}\approx 45{,}45\), então a restrição de horas domina e o ponto extremo no eixo \(y=0\) é
\[( x,y )=(24,0).
Se x=0: pelas restrições temos 60y \le 500 e 2y \le 24. Calculamos \dfrac{500}{60}=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333 e \dfrac{24}{2}=12. A restrição de pastagem domina, então o ponto extremo no eixo x=0 é
( x,y )=\Bigl(0,\frac{25}{3}\Bigr).
Interseção das duas restrições ativas simultaneamente:
Resolvemos o sistema linear
Da segunda equação isolamos (x]: x=24-2y.
Substituímos na primeira: 11(24-2y)+60y=500.
Fazendo as contas passo a passo: 264-22y+60y=500,
264+38y=500,
38y=500-264=236,
y=\frac{236}{38}=\frac{118}{19}.
Agora (x=24-2y=24-2\cdot\frac{118}{19}=\frac{456-236}{19}=\frac{220}{19}.
]
Portanto a interseção é \Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\frac{220}{19},\,\frac{118}{19}\Bigr).
Calculando a aproximação decimal (para entender o valor):
\frac{4238}{19}\approx 223{,}0526\ldots
Comparando os valores obtidos: 0,\;192,\;175,\; \dfrac{4238}{19}. O maior é \dfrac{4238}{19} obtido no vértice \Bigl(\dfrac{220}{19},\dfrac{118}{19}\Bigr).
Passo 7
Conclusão e interpretação prática:
O máximo do lucro ocorre com x=\dfrac{220}{19} bois por ano e y=\dfrac{118}{19} toneladas de lã por ano.
O lucro máximo correspondente é \dfrac{4238}{19} unidades monetárias por ano (aproximadamente 223{,}05 unidades).
Observação prática: as soluções são fracionárias porque tratamos o problema como contínuo (quantidades podem ser interpretadas como rebanhos médios ou produção anual). Se o problema exigir números inteiros (só produzir bois inteiros e quantidades inteiras de toneladas), seria necessário resolver a versão inteira do problema, que pode exigir checar arredondamentos próximos ao ponto ótimo e ver qual inteiro viável dá maior lucro.
Força aí — você já tem o plano ótimo em forma exata, e dá para arredondar/ajustar se necessário para produzir animais inteiros na fazenda.