(Maximização) Um agricultor pode produzir bois para o abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 hectares de pastagens e que exige uma hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa 60 hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de 8 unidades monetárias por boi e 21 unidades monetárias por tonelada de lã produzidas, respectivamente. Seus recursos produtivos são limitados a 500 hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de 24 horas de trabalho diárias. O produtor deseja seguir um plano que maximizasse seus lucros totais.

Passo 1

O enunciado pede que o produtor escolha um plano de produção que maximize seu lucro total anual, dado que ele pode produzir bois para abate e produzir lã (em toneladas) a partir de ovelhas. As informações relevantes fornecidas são as seguintes:
  • A produção de um boi por ano consome 11 hectares de pastagem e 1 hora de trabalho por dia, e rende 8 unidades monetárias por boi.
  • A produção de uma tonelada de lã por ano consome 60 hectares de pastagem e 2 horas de trabalho por dia, e rende 21 unidades monetárias por tonelada.
  • Recursos disponíveis: 500 hectares de pastagens e 24 horas de trabalho por dia (total, considerando os dois filhos).
  • O objetivo: escolher quantos bois e quantas toneladas de lã produzir por ano para maximizar o lucro total sujeito às limitações de pastagem e de trabalho.

Passo 2

Definimos variáveis que representam as decisões do produtor (isso deixa o problema em linguagem matemática):
  • Seja x o número de bois produzidos por ano.
  • Seja y o número de toneladas de lã produzidas por ano.
Explicando: x e y são as quantidades que queremos determinar. Eles devem ser não-negativos, ou seja, x\ge 0 e y\ge 0.

Passo 3

Escrevemos as restrições de recursos em forma de inequações lineares.
  • Restrição de pastagem: cada boi exige 11 hectares e cada tonelada de lã exige 60 hectares, e há 500 hectares disponíveis. Então
11x + 60y \le 500.
  • Restrição de trabalho (horas por dia): cada boi exige 1 hora/dia e cada tonelada de lã exige 2 horas/dia, dispondo-se de 24 horas/dia. Então
x + 2y \le 24.
  • Não negatividade:
x \ge 0,\quad y \ge 0.
A função lucro total a maximizar é a soma dos lucros por unidade produzida:
\text{lucro }=8x+21y.
Portanto o problema vira um problema de programação linear:
maximizar \;8x+21y\; sujeito a
\begin{cases} 11x+60y \le 500,\\[4pt] x+2y \le 24,\\[4pt] x\ge0,\;y\ge0. \end{cases}]

Passo 4

Breve aula: por que resolver assim? Em problemas lineares com duas variáveis dá para usar o método gráfico ou usar a propriedade de que o máximo (ou mínimo) de uma função linear sobre uma região poligonal ocorre em um vértice (canto) da região viável. Logo basta calcular os vértices da região definida pelas restrições e comparar o valor da função objetivo nesses vértices. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Calculamos os vértices (pontos candidatos) da região viável. Os vértices possíveis aparecem nas interseções das restrições (incluindo os eixos).
  1. Interseção com os eixos:
  • Se y=0\): pelas restrições temos \(11x \le 500\) e \(x \le 24\). Assim \(x\) pode chegar até \(\min\!\left(\dfrac{500}{11},\,24\right)\). Calculamos \(\dfrac{500}{11}\approx 45{,}45\), então a restrição de horas domina e o ponto extremo no eixo \(y=0\) é \[( x,y )=(24,0).
  • Se x=0: pelas restrições temos 60y \le 500 e 2y \le 24. Calculamos \dfrac{500}{60}=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333 e \dfrac{24}{2}=12. A restrição de pastagem domina, então o ponto extremo no eixo x=0 é
( x,y )=\Bigl(0,\frac{25}{3}\Bigr).
  1. Interseção das duas restrições ativas simultaneamente:
    Resolvemos o sistema linear
\begin{cases} 11x+60y=500,\\[4pt] x+2y=24. \end{cases}
Da segunda equação isolamos (x]:
x=24-2y.
Substituímos na primeira:
11(24-2y)+60y=500.
Fazendo as contas passo a passo:
264-22y+60y=500,
264+38y=500,
38y=500-264=236,
y=\frac{236}{38}=\frac{118}{19}.
Agora (x=24-2y=24-2\cdot\frac{118}{19}=\frac{456-236}{19}=\frac{220}{19}.
]
Portanto a interseção é
\Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\frac{220}{19},\,\frac{118}{19}\Bigr).
Recapitulando os vértices a testar:
(0,0),\quad (24,0),\quad \Bigl(\frac{220}{19},\frac{118}{19}\Bigr),\quad \Bigl(0,\frac{25}{3}\Bigr).)

Passo 6

Avaliamos a função objetivo 8x+21y em cada vértice.
  • Em (0,0):
8\cdot 0 + 21\cdot 0 = 0.
  • Em (24,0):
8\cdot 24 + 21\cdot 0 = 192.
  • Em \Bigl(0,\dfrac{25}{3}\Bigr):
8\cdot 0 + 21\cdot \frac{25}{3} = 21\cdot\frac{25}{3}=\frac{525}{3}=175.
  • Em \Bigl(\dfrac{220}{19},\dfrac{118}{19}\Bigr):
8\cdot\frac{220}{19} + 21\cdot\frac{118}{19} = \frac{8\cdot220 + 21\cdot118}{19} = \frac{1760 + 2478}{19} = \frac{4238}{19}.
Calculando a aproximação decimal (para entender o valor):
\frac{4238}{19}\approx 223{,}0526\ldots
Comparando os valores obtidos: 0,\;192,\;175,\; \dfrac{4238}{19}. O maior é \dfrac{4238}{19} obtido no vértice \Bigl(\dfrac{220}{19},\dfrac{118}{19}\Bigr).

Passo 7

Conclusão e interpretação prática:
  • O máximo do lucro ocorre com x=\dfrac{220}{19} bois por ano e y=\dfrac{118}{19} toneladas de lã por ano.
  • O lucro máximo correspondente é \dfrac{4238}{19} unidades monetárias por ano (aproximadamente 223{,}05 unidades).
  • Observação prática: as soluções são fracionárias porque tratamos o problema como contínuo (quantidades podem ser interpretadas como rebanhos médios ou produção anual). Se o problema exigir números inteiros (só produzir bois inteiros e quantidades inteiras de toneladas), seria necessário resolver a versão inteira do problema, que pode exigir checar arredondamentos próximos ao ponto ótimo e ver qual inteiro viável dá maior lucro.
Força aí — você já tem o plano ótimo em forma exata, e dá para arredondar/ajustar se necessário para produzir animais inteiros na fazenda.

Resposta

\displaystyle x=\frac{220}{19}
\displaystyle y=\frac{118}{19}
\displaystyle \text{Lucro máximo}=\frac{4238}{19}á

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