O que se pede: escrever o dual desse problema primal (isto é, formular o problema dual correspondente).
Passo 1 concluído — identifiquei o objetivo (minimizar) e listei todas as restrições e condições de não negatividade.
Passo 2
Escolha do método e ideia central (sem jargão técnico pesado).
Vou derivar o dual usando a construção via multiplicadores (Lagrangeanos) associando uma variável dual a cada restrição do primal. A intuição rápida: cada restrição do primal gera uma variável no dual; como o primal é minimização com restrições do tipo ``\geqslant’’, os multiplicadores associados serão não negativos — vou explicar por quê no próximo passo.
Passo 3
Definir as variáveis duais e o vetor b (o lado direito das restrições).
Associe uma variável dual a cada restrição primal:
\text{variáveis duais: } y_{1}\\ \text{para a 1ª restrição},\quad y_{2}\\ \text{para a 2ª restrição}.
O vetor dos termos do lado direito das restrições é
b=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
pois a 1ª restrição tem 1 no lado direito e a 2ª tem -1.
Passo 4
Explicar por que as variáveis duais y_{1},y_{2} têm sinal não negativo.
Rápida aula: ao formar o Lagrangeano para uma restrição do tipo \text{(expressão)} \geqslant \text{constante} usamos um multiplicador y\ge 0 e subtraímos y vezes a diferença para montar o Lagrangeano. Se permitíssemos y negativo, ao minimizar sobre x\ge0 o termo linear em x poderia ir para -\infty. Portanto, para garantir que a função dual seja bem comportada (não dê -\infty indevidamente), os multiplicadores correspondentes a restrições do tipo ``\geqslant’’ no primal são não negativos. Assim:
y_{1}\geqslant 0,\quad y_{2}\geqslant 0.
Passo 5
Formar o Lagrangeano e obter as desigualdades do dual (condição de finitude).
Escrevo o Lagrangeano (forma enxuta, sem derivar todo o cálculo, mas com a ideia): se c=(2,1,4)^{T} é o vetor dos coeficientes da função objetivo do primal e A é a matriz das restrições, o Lagrangeano é
L(x,y)=c^{T}x - y^{T}(A x - b)= (c^{T}-y^{T}A)x + y^{T}b.
Para que g(y)=\inf_{x\ge0} L(x,y) seja finito (não -\infty), o coeficiente de cada x_{j} em (c^{T}-y^{T}A) tem de ser não negativo (porque x_{j}\ge0). Isso dá a condição matricial
A^{T}y \le c.
Vou calcular A explicitamente a partir das restrições do primal.
Passo 6
Escrever a matriz A e calcular A^{T}y componente a componente.
As restrições fornecem a matriz A (cada linha é os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} em cada restrição):
Juntar tudo: escrever o problema dual final e explicar cada parte.
Resumindo, o dual é um problema de maximização com variáveis y_{1},y_{2} sujeitas às desigualdades obtidas e à não negatividade:
Breve interpretação: cada desigualdade vem da exigência de que o coeficiente associado a x_{1},x_{2},x_{3} no Lagrangeano não permita o infimum ir a -\infty; a função objetivo é formada por combinar os lados direitos do primal com os y.]