Questão 5. Marque ( V ) se verdadeiro e ( F ) se falso. Justifique cada resposta dada.
a) (1,0 \mathrm{pt})(\quad) \operatorname{Se} \sum a_{n} diverge, então \sum a_{n}^{2} diverge.
b) (1,0 \mathrm{pt})\left(\quad\right. ) A série de potência \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n(-4)^{n}} tem raio de convergência R=4 e intervalo de convergência (-2,6].
Passo 1
O enunciado pede para marcarmos (V) ou (F) em duas afirmações sobre séries. O item (a) envolve convergência de séries numéricas e uso de séries-p, e o item (b) trata de raio e intervalo de convergência de uma série de potências. Vamos usar contraexemplo e teste da série-p no primeiro caso, e no segundo aplicar a fórmula do raio de convergência e analisar os extremos.
Passo 2
Item (a): “Se \sum a_{n} diverge, então \sum a_{n}^{2} diverge.”
Contraexemplo clássico: tome
a_{n} = \frac{1}{n}.
Então \sum a_{n} = \sum \frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Mas
\sum a_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n^{2}}
é uma série-p com p=2>1, logo converge. Como encontramos um caso em que \sum a_{n} diverge mas \sum a_{n}^{2} converge, a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b): série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n(-4)^{n}}.
Escrevendo o termo geral como \frac{1}{n}\bigl(\tfrac{x-2}{-4}\bigr)^{n}, temos uma série do tipo \sum \frac{w^{n}}{n} com w=(x-2)/(-4). Sabemos que essa série converge para |w|<1 e diverge para |w|>1, logo o raio de convergência em x satisfaz