Questão 5. Marque ( V ) se verdadeiro e ( F ) se falso. Justifique cada resposta dada.
a) (1,0 \mathrm{pt})(\quad) \operatorname{Se} \sum a_{n} diverge, então \sum a_{n}^{2} diverge.
b) (1,0 \mathrm{pt})\left(\quad\right. ) A série de potência \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n(-4)^{n}} tem raio de convergência R=4 e intervalo de convergência (-2,6].

Passo 1

O enunciado pede para marcarmos (V) ou (F) em duas afirmações sobre séries. O item (a) envolve convergência de séries numéricas e uso de séries-p, e o item (b) trata de raio e intervalo de convergência de uma série de potências. Vamos usar contra­exemplo e teste da série-p no primeiro caso, e no segundo aplicar a fórmula do raio de convergência e analisar os extremos.

Passo 2

Item (a): “Se \sum a_{n} diverge, então \sum a_{n}^{2} diverge.”
Contra­exemplo clássico: tome
a_{n} = \frac{1}{n}.
Então \sum a_{n} = \sum \frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Mas
\sum a_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n^{2}}
é uma série-p com p=2>1, logo converge. Como encontramos um caso em que \sum a_{n} diverge mas \sum a_{n}^{2} converge, a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b): série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n(-4)^{n}}.
Escrevendo o termo geral como \frac{1}{n}\bigl(\tfrac{x-2}{-4}\bigr)^{n}, temos uma série do tipo \sum \frac{w^{n}}{n} com w=(x-2)/(-4). Sabe­mos que essa série converge para |w|<1 e diverge para |w|>1, logo o raio de convergência em x satisfaz
\biggl|\frac{x-2}{-4}\biggr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-2|<4,
ou seja, R=4.
Agora analisamos os extremos:
  1. Em x=-2:
    w = \frac{-2-2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1,
    e a série vira \sum\frac{1^{n}}{n}=\sum\frac{1}{n}, que diverge.
  2. Em x=6:
    w = \frac{6-2}{-4} = -1,
    e a série vira \sum(-1)^{n}\frac{1}{n}, que é a série harmônica alternada e converge (critério de Leibniz).
Portanto o intervalo de convergência é (-2,6], confirmando que o item (b) é verdadeiro.

Resposta

a) F
b) V

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