(Minimização) Sabe-se que os alimentos I e II, fornecem as quantidades de nutrientes dadas na tabela abaixo:
Alimento I (kg)
Alimento II (kg)
Requisito mínimo diário
Cálcio (unidade)
10
4
20
Proteína (unidade)
5
5
20
Calorias (unidade)
2
6
12
Custo Unitário
6 u.m.
10 u.m.
Formule um PPL com o objetivo de calcular quais as quantidades dos alimentos I e II, a fim de satisfazer as quantidades mínimas de nutrientes a um custo mínimo.
| Alimento I (kg) | Alimento II (kg) | Requisito mínimo diário | |
| Cálcio (unidade) | 10 | 4 | 20 |
| Proteína (unidade) | 5 | 5 | 20 |
| Calorias (unidade) | 2 | 6 | 12 |
| Custo Unitário | 6 u.m. | 10 u.m. |
Passo 1
O enunciado pede que formulemos um problema de otimização para descobrir as quantidades de dois alimentos (I e II) que satisfaçam requisitos mínimos de nutrientes ao menor custo possível. Informações fornecidas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
- Para Cálcio: alimento I fornece
unidades por kg, alimento II fornece unidades por kg, e o requisito mínimo diário é unidades. - Para Proteína: alimento I fornece
unidades por kg, alimento II fornece unidades por kg, e o requisito mínimo diário é unidades. - Para Calorias: alimento I fornece
unidades por kg, alimento II fornece unidades por kg, e o requisito mínimo diário é unidades. - Custo unitário: alimento I custa
u.m. por kg, alimento II custa u.m. por kg.
O que se pede explicitamente: formular um Programa de Programação Linear (PPL) cujo objetivo é minimizar o custo total respeitando os mínimos diários de cada nutriente.
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (essencial para formular o modelo):
- Seja
a quantidade (em kg) de alimento I a ser comprada/consumida por dia. - Seja
a quantidade (em kg) de alimento II a ser comprada/consumida por dia.
Explicação didática: escolhemos
e
porque o problema pergunta “quais as quantidades” dos dois alimentos. Em modelagem linear cada alimento vira uma variável que representa a quantidade. Como não faz sentido comprar quantidade negativa, teremos restrição de não negatividade:
e
.
Passo 3
Formulação da função objetivo (o que queremos minimizar):
- O custo total por dia é a soma do custo do alimento I mais o custo do alimento II. O custo do alimento I é
u.m. por kg multiplicado por . O custo do alimento II é u.m. por kg multiplicado por .
Portanto a função objetivo é:
Explicação didática: o coeficiente de cada variável na função objetivo é o preço por unidade de massa daquele alimento. Minimizar essa soma nos dá o menor custo total possível, sujeito às restrições.
Passo 4
Construção das restrições de nutrientes a partir da tabela (passo a passo):
- Cálcio: cada kg do alimento I dá
unidades e cada kg do alimento II dá unidades. Para que o total de cálcio seja pelo menos unidades, montamos:
Aqui o lado esquerdo é a soma do cálcio fornecido por
e
, e a desigualdade é
porque precisamos de no mínimo
.
- Proteína: cada kg de I e II fornece
unidades. O requisito mínimo é , logo:
Observação: esta restrição é equivalente a
(dividindo ambos os lados por
), mas manterei a forma com os coeficientes originais para ficar mais transparente com a tabela.
- Calorias: cada kg de I fornece
unidades e de II fornece unidades; o mínimo exigido é , então:
Didática: cada restrição traduz a necessidade “soma das contribuições dos alimentos ≥ necessidade mínima”. Os coeficientes vêm da tabela, o lado direito é o requisito mínimo.
Passo 5
Restrição de não negatividade e observações finais sobre o modelo:
- Não negatividade:
Explicação didática: quantidades negativas não fazem sentido fisicamente, por isso impomos estas restrições.
Observação breve sobre linearidade: todas as funções (objetivo e restrições) são lineares em
e
, então o problema é um PPL padrão de minimização com restrições lineares.
Passo 6
Resumo final do modelo (colocado de forma organizada para uso na prova ou implementação):
- Variáveis:
(kg de alimentos I e II). - Objetivo: minimizar custo total.
- Restrições: atender mínimos de cálcio, proteína e calorias.
- Não negatividade:
.
Esse é o PPL completo que deve ser apresentado na resposta. Se você quiser, eu também posso resolver esse modelo pelo método gráfico (é um problema com duas variáveis, então é bem didático) e encontrar as quantidades ótimas e o custo mínimo — me avise que eu faço passo a passo e explico como desenhar o gráfico das restrições e localizar a solução ótima.