(Minimização) Sabe-se que os alimentos I e II, fornecem as quantidades de nutrientes dadas na tabela abaixo:
Alimento I (kg) Alimento II (kg) Requisito mínimo diário
Cálcio (unidade) 10 4 20
Proteína (unidade) 5 5 20
Calorias (unidade) 2 6 12
Custo Unitário 6 u.m. 10 u.m.
Formule um PPL com o objetivo de calcular quais as quantidades dos alimentos I e II, a fim de satisfazer as quantidades mínimas de nutrientes a um custo mínimo.

Passo 1

O enunciado pede que formulemos um problema de otimização para descobrir as quantidades de dois alimentos (I e II) que satisfaçam requisitos mínimos de nutrientes ao menor custo possível. Informações fornecidas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
  • Para Cálcio: alimento I fornece \;10\; unidades por \;1\; kg, alimento II fornece \;4\; unidades por \;1\; kg, e o requisito mínimo diário é \;20\; unidades.
  • Para Proteína: alimento I fornece \;5\; unidades por \;1\; kg, alimento II fornece \;5\; unidades por \;1\; kg, e o requisito mínimo diário é \;20\; unidades.
  • Para Calorias: alimento I fornece \;2\; unidades por \;1\; kg, alimento II fornece \;6\; unidades por \;1\; kg, e o requisito mínimo diário é \;12\; unidades.
  • Custo unitário: alimento I custa \;6\; u.m. por \;1\; kg, alimento II custa \;10\; u.m. por \;1\; kg.
O que se pede explicitamente: formular um Programa de Programação Linear (PPL) cujo objetivo é minimizar o custo total respeitando os mínimos diários de cada nutriente.

Passo 2

Definição das variáveis de decisão (essencial para formular o modelo):
  • Seja \;x_1\; a quantidade (em kg) de alimento I a ser comprada/consumida por dia.
  • Seja \;x_2\; a quantidade (em kg) de alimento II a ser comprada/consumida por dia.
Explicação didática: escolhemos \;x_1\; e \;x_2\; porque o problema pergunta “quais as quantidades” dos dois alimentos. Em modelagem linear cada alimento vira uma variável que representa a quantidade. Como não faz sentido comprar quantidade negativa, teremos restrição de não negatividade: \;x_1\ge 0\; e \;x_2\ge 0.

Passo 3

Formulação da função objetivo (o que queremos minimizar):
  • O custo total por dia é a soma do custo do alimento I mais o custo do alimento II. O custo do alimento I é 6 u.m. por kg multiplicado por \;x_1\;. O custo do alimento II é 10 u.m. por kg multiplicado por \;x_2\;.
    Portanto a função objetivo é:
\min z \;=\; 6\,x_1 \;+\; 10\,x_2.
Explicação didática: o coeficiente de cada variável na função objetivo é o preço por unidade de massa daquele alimento. Minimizar essa soma nos dá o menor custo total possível, sujeito às restrições.

Passo 4

Construção das restrições de nutrientes a partir da tabela (passo a passo):
  • Cálcio: cada kg do alimento I dá \;10\; unidades e cada kg do alimento II dá \;4\; unidades. Para que o total de cálcio seja pelo menos \;20\; unidades, montamos:
10\,x_1 \;+\; 4\,x_2 \;\ge\; 20.
Aqui o lado esquerdo é a soma do cálcio fornecido por \;x_1\; e \;x_2, e a desigualdade é \ge porque precisamos de no mínimo \;20\;.
  • Proteína: cada kg de I e II fornece \;5\; unidades. O requisito mínimo é \;20\;, logo:
5\,x_1 \;+\; 5\,x_2 \;\ge\; 20.
Observação: esta restrição é equivalente a \;x_1 + x_2 \ge 4\; (dividindo ambos os lados por 5), mas manterei a forma com os coeficientes originais para ficar mais transparente com a tabela.
  • Calorias: cada kg de I fornece \;2\; unidades e de II fornece \;6\; unidades; o mínimo exigido é \;12\;, então:
2\,x_1 \;+\; 6\,x_2 \;\ge\; 12.
Didática: cada restrição traduz a necessidade “soma das contribuições dos alimentos ≥ necessidade mínima”. Os coeficientes vêm da tabela, o lado direito é o requisito mínimo.

Passo 5

Restrição de não negatividade e observações finais sobre o modelo:
  • Não negatividade:
x_1 \;\ge\; 0,\qquad x_2 \;\ge\; 0.
Explicação didática: quantidades negativas não fazem sentido fisicamente, por isso impomos estas restrições.
Observação breve sobre linearidade: todas as funções (objetivo e restrições) são lineares em \;x_1 e \;x_2\;, então o problema é um PPL padrão de minimização com restrições lineares.

Passo 6

Resumo final do modelo (colocado de forma organizada para uso na prova ou implementação):
  • Variáveis: \;x_1,x_2\; (kg de alimentos I e II).
  • Objetivo: minimizar custo total.
  • Restrições: atender mínimos de cálcio, proteína e calorias.
  • Não negatividade: \;x_1\ge 0,\;x_2\ge 0.
Esse é o PPL completo que deve ser apresentado na resposta. Se você quiser, eu também posso resolver esse modelo pelo método gráfico (é um problema com duas variáveis, então é bem didático) e encontrar as quantidades ótimas e o custo mínimo — me avise que eu faço passo a passo e explico como desenhar o gráfico das restrições e localizar a solução ótima.

Resposta

\min z = 6\,x_1 + 10\,x_2
\text{sujeito a}
10\,x_1 + 4\,x_2 \ge 20
5\,x_1 + 5\,x_2 \ge 20
2\,x_1 + 6\,x_2 \ge 12
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0

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