Maximizar a função f(x, y, z)=x+2 y+3 z sujeita a restrições x-y+z=1 e x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função f(x,y,z)=x+2y+3z sujeita a duas restrições: a reta x-y+z=1 e o círculo x^2+y^2=1. O conteúdo envolve otimização com restrições (Lagrange ou eliminação de variáveis) e vamos precisar usar álgebra para eliminar z e depois maximizar uma função linear num círculo.

Passo 2

Usamos a restrição linear para expressar z. Da equação x-y+z=1 temos:
z=1-x+y

Passo 3

Substituímos em f para obter uma função só de x,y:
f(x,y)=x+2y+3(1-x+y)=-2x+5y+3

Passo 4

Como o termo constante +3 não afeta onde o máximo ocorre, definimos g(x,y)=-2x+5y e queremos maximizar g sujeito a x^2+y^2=1.

Passo 5

Para maximizar uma função linear Ax+By no círculo x^2+y^2=1, usamos que o máximo vale raizA^2+B^2 e ocorre na direção do vetor (A,B). Aqui A=-2 e B=5, então
max g=raiz(-2)^2+5^2=raiz29

Passo 6

O ponto que atinge esse valor é
(x,y)=l(AraizA^2+B^2,BraizA^2+B^2r)=l(-2raiz29,5raiz29r)

Passo 7

Por fim, voltamos a z pela restrição z=1-x+y:
z=1-l(-2raiz29r)+5raiz29=1+7raiz29

Resposta

O máximo ocorre em l(x,y,zr)=l(-tfrac2raiz29,tfrac5raiz29,1+tfrac7raiz29r) e vale fmax=raiz29+3.

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