Para maximizar a dissipação térmica do chip, propõe-se fixar ao mesmo um dissipador feito em uma liga de alumínio ( \rho_{\mathrm{Al}}=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{k}_{\mathrm{Al}}=175 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) ) com uma fina espessura da base, onde são fixadas 25 aletas em forma de pino com seção circular uniforme, com as seguintes características: diâmetro \mathrm{D}_{\mathrm{a}}=4 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}_{\mathrm{a}}=3 \mathrm{~cm} e rendimento \eta_{\mathrm{a}}=85 \%, numa matriz de 5 \times 5 aletas. Determine a efetividade dessas aletas, a eficiência global da superfície aletada e o aumento percentual de potência dissipada pelo chip com a inclusão deste dissipador. Considere que a presença das aletas causa uma redução de 25 \% no coeficiente convectivo.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a efetividade (effectiveness) de cada aleta.
  • Determinar a eficiência global da superfície aletada.
  • Determinar o aumento percentual da potência dissipada pelo chip quando se acrescenta o dissipador.
Informações numéricas dadas (já convertidas para o SI quando necessário):
  • número de aletas: N=25 (matriz 5\times5);
  • diâmetro da aleta: D_{\mathrm{a}}=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m};
  • comprimento da aleta: L_{\mathrm{a}}=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m};
  • rendimento (eficiência da aleta) fornecido: \eta_{\mathrm{a}}=85\%=0{,}85;
  • a presença das aletas reduz o coeficiente convectivo em 25\% (ou seja, o novo h vale 0{,}75 vezes o h original).
    Observação importante (implícita e necessária para prosseguir): cada aleta é uma haste cilíndrica circular e consideraremos a área de “pegada” (planform) da aleta sobre a base igual à área do círculo de diâmetro D_{\mathrm{a}}, isto é A_{\mathrm{c}}=\pi D_{\mathrm{a}}^2/4. A regra prática que vamos usar (muito comum em térmica) é:
  • área de superfície lateral de uma aleta cilíndrica: A_{\mathrm{f}}=\pi D_{\mathrm{a}} L_{\mathrm{a}};
  • razão de áreas por aleta: r=\dfrac{A_{\mathrm{f}}}{A_{\mathrm{c}}}.
    A partir dessas quantidades calculamos a efetividade da aleta e a eficiência global da superfície aletada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Eficiência da aleta \eta_{\mathrm{a}} (já dada) é a razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base.
    Fórmula: não precisamos recalcular \eta_{\mathrm{a}} porque ela foi dada.
  • Efetividade (effectiveness) da aleta \varepsilon_{\mathrm{a}}: mede quanto uma aleta aumenta a transferência de calor em relação à mesma área da base sem aleta. Para uma única aleta, uma forma prática é \varepsilon_{\mathrm{a}}=\eta_{\mathrm{a}}\frac{A_{\mathrm{f}}}{A_{\mathrm{c}}},onde A_{\mathrm{f}} é a área de superfície da aleta (lateral) e A_{\mathrm{c}} é a área de planform (pegada) da aleta sobre a base.
    Intuição: se aleta fosse ideal ( \eta=1), sua contribuição relativa seria simplesmente a razão das áreas; com \eta<1 multiplicamos por esse fator.
  • Eficiência global da superfície aletada \eta_{\mathrm{o}}: é a razão entre o calor total realmente transferido pela superfície (base exposta + aletas com sua eficiência) e o calor que seria transferido se toda a área externa total estivesse à temperatura da base. Para N aletas idênticas, \eta_{\mathrm{o}}=\frac{A_{\mathrm{base,exp}}+\eta_{\mathrm{a}}A_{\mathrm{f,tot}}}{A_{\mathrm{base,exp}}+A_{\mathrm{f,tot}}},onde A_{\mathrm{f,tot}}=N A_{\mathrm{f}} e A_{\mathrm{base,exp}} é a área de base exposta. No nosso arranjo, usando a hipótese de que a área de base “associada” a cada aleta é sua pegada A_{\mathrm{c}}, temos A_{\mathrm{base,exp}}=N A_{\mathrm{c}}. Substituindo e dividindo por N A_{\mathrm{c}} resultará numa expressão em termos da razão r=A_{\mathrm{f}}/A_{\mathrm{c}}: \eta_{\mathrm{o}}=\frac{1+\eta_{\mathrm{a}}\,r}{1+r}.
  • Aumento percentual da potência dissipada: comparamos a potência dissipada sem aletas ( Q_{\text{sem}}) e com aletas ( Q_{\text{com}}). Se sem aletas o coeficiente convectivo era h_0 e a área disponível era N A_{\mathrm{c}}, então Q_{\text{sem}}=h_0\,N A_{\mathrm{c}}\,\Delta T.Com aletas o coeficiente cai para h_1=0{,}75\,h_0 e a transferência total é Q_{\text{com}}=h_1\bigl(N A_{\mathrm{c}}+\eta_{\mathrm{a}}N A_{\mathrm{f}}\bigr)\Delta T.Dividindo e simplificando ( \Delta T e h_0 N cancelam), obtemos a razão \frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}=0{,}75\bigl(1+\eta_{\mathrm{a}} r\bigr).O aumento percentual é então \bigl(\dfrac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}-1\bigr)\times100\%.

Passo 3

Calcular as áreas por aleta e a razão r.
  • área lateral da aleta (superfície disponível para convecção, por aleta):
A_{\mathrm{f}}=\pi D_{\mathrm{a}} L_{\mathrm{a}}.
  • área de planform (pegada) da aleta:
A_{\mathrm{c}}=\frac{\pi D_{\mathrm{a}}^{2}}{4}.
  • razão r:
r=\frac{A_{\mathrm{f}}}{A_{\mathrm{c}}}=\frac{\pi D_{\mathrm{a}} L_{\mathrm{a}}}{\pi D_{\mathrm{a}}^{2}/4}=\frac{4L_{\mathrm{a}}}{D_{\mathrm{a}}}.
Substituindo os números:
r=\frac{4\cdot 0{,}03}{0{,}004}=\frac{0{,}12}{0{,}004}=30.
Portanto cada aleta tem 30 vezes mais área lateral do que a área de pegada sobre a base.

Passo 4

Calcular a efetividade da aleta \varepsilon_{\mathrm{a}}.
Fórmula:
\varepsilon_{\mathrm{a}}=\eta_{\mathrm{a}}\,r.
Substituindo:
\varepsilon_{\mathrm{a}}=0{,}85\times 30=25{,}5.
Interpretação rápida: cada aleta faz com que aquela “pegada” de base dissipe o mesmo calor de uma área plana cerca de 25{,}5 vezes maior (se a temperatura da base e h fossem mantidos).

Passo 5

Calcular a eficiência global \eta_{\mathrm{o}} da superfície aletada.
Usando a fórmula em termos de r:
\eta_{\mathrm{o}}=\frac{1+\eta_{\mathrm{a}}\,r}{1+r}.
Substituindo r=30 e \eta_{\mathrm{a}}=0{,}85:
\eta_{\mathrm{o}}=\frac{1+0{,}85\times 30}{1+30}=\frac{1+25{,}5}{31}=\frac{26{,}5}{31}\approx 0{,}8548387\ldots
Convertendo para percentual:
\eta_{\mathrm{o}}\approx 85{,}48\%.
Comentário: a eficiência global fica muito parecida com a eficiência da própria aleta porque a razão r é grande — a superfície total é dominada pela área das aletas.

Passo 6

Calcular o aumento percentual da potência dissipada pelo chip ao adicionar o dissipador (levando em conta a redução de 25\% em h).
Razão entre potências:
\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}=0{,}75\bigl(1+\eta_{\mathrm{a}} r\bigr).
Substituindo r=30 e \eta_{\mathrm{a}}=0{,}85:
\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}=0{,}75\bigl(1+0{,}85\times 30\bigr)=0{,}75\times 26{,}5=19{,}875.
Aumento percentual:
\left(\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}-1\right)\times 100\%= (19{,}875-1)\times100\%=18{,}875\times100\%=1887{,}5\%.
Interpretação: apesar da redução do coeficiente convectivo, a enorme adição de área (as aletas) faz a dissipação total aumentar em alguns ordens de magnitude — aqui aproximadamente 1{,}888\cdot10^{3}\%.

Passo 7

Resumo numérico (arrepio bonito: as aletas são curtas mas finas o suficiente para multiplicar muito a área disponível — por isso o aumento gigantesco). Se quiser arredondar para apresentação da prova, use por exemplo \varepsilon_{\mathrm{a}}\approx 25{,}5, \eta_{\mathrm{o}}\approx85{,}48\% e aumento \approx1887{,}5\%. Vai dar certo — respira e confia.

Resposta

\varepsilon_{\mathrm{a}}=25{,}5
\eta_{\mathrm{o}}=85{,}48\%
Aumento percentual da potência dissipada =1887{,}5\%

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