1. Maximize Z=5 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}
\begin{aligned} \operatorname{Max} Z & =5 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3} \\ \text { sujeito } \mathfrak{a} & : \\ x_{1}+3 x_{2}+x_{3} & \leq 3 \\ -x_{1}+3 x_{3} & \leq 2 \\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & \leq \\ & 4 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3} \leq & 2 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq & 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
Z = 5x_{1} + 5x_{2} + 3x_{3}
sujeito a
\begin{cases} x_{1} + 3x_{2} + x_{3} \le 3,\\\\ -\,x_{1} + 3x_{3} \le 2,\\\\ 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} \le 4,\\\\ 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} \le 2,\\\ x_{1},x_{2},x_{3}\ge 0. \end{cases}
O conteúdo é Programação Linear e vamos aplicar o Método Simplex: converter para forma padrão, montar o tableau e pivotar até optimalidade.

Passo 2

Introduzimos variáveis de folga s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\ge0 para transformar em igualdades:
\begin{aligned} x_{1}+3x_{2}+x_{3}+s_{1} &=3,\\\\ -\,x_{1}+3x_{3}+s_{2} &=2,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+2x_{3}+s_{3}&=4,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+s_{4}&=2. \end{aligned}
Escrevendo o Tableau inicial (base s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}):
\begin{array}{c|cccc|cccc|c} \text{BV}&x_{1}&x_{2}&x_{3}& &s_{1}&s_{2}&s_{3}&s_{4}&\text{RHS}\\hline s_{1}&1&3&1& &1&0&0&0&3\\\ s_{2}&-1&0&3& &0&1&0&0&2\\\ s_{3}&2&-1&2& &0&0&1&0&4\\\ s_{4}&2&3&-1& &0&0&0&1&2\\hline Z&-5&-5&-3& &0&0&0&0&0 \end{array}

Passo 3

Primeira iteração Simplex:
  • Variável de entrada: x_{1} (coeficiente -5 mais negativo em Z).
  • Razões \tfrac{\text{RHS}}{\text{coef. }x_{1}}>0:
    \tfrac{3}{1}=3,\\ \tfrac{4}{2}=2,\\ \tfrac{2}{2}=1. Mínimo em s_{4}, que sai da base.
  • Pivot em (s_{4},x_{1}). Após normalizar e eliminar, obtém-se nova tabela com base (s_{1},s_{2},s_{3},x_{1}) e
Z = 5 + \tfrac{5}{2}x_{2} - \tfrac{11}{2}x_{3} + \tfrac{5}{2}s_{4}.

Passo 4

Segunda e terceira iterações Simplex:
1) Entra x_{3} (coef.\ -\tfrac{11}{2}), sai s_{3}.
2) Entra x_{2} (novo coef.\ negativo), sai s_{2}.
Ao fim não há coeficientes negativos na linha Z. A solução básica final é
x_{1}=\tfrac{32}{29},\quad x_{2}=\tfrac{8}{29},\quad x_{3}=\tfrac{30}{29},
todas as folgas não-básicas \;s_{2}=s_{3}=s_{4}=0, e
Z^{*}=10.

Resposta

x_{1}=\tfrac{32}{29},\;x_{2}=\tfrac{8}{29},\;x_{3}=\tfrac{30}{29},\;Z_{\max}=10.

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