1. Maximize Z=4 x_{1}+3 x_{2}
\begin{aligned} \operatorname{Max} Z & =4 x_{1}+3 x_{2} \\ \text { sujeito }{ }^{\text {a }} & : \\ x_{1}+3 x_{2} & \leq 3 \\ +2 x_{1}+2 x_{2} & \leq 8 \\ x_{2} & \leq 2 \\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O problema é um programa linear em duas variáveis que pede
maximizar
Z = 4x_{1} + 3x_{2}
sujeito a
\begin{aligned} x_{1} + 3x_{2} &\le 3,\\\\ 2x_{1} + 2x_{2} &\le 8,\\\ x_{2} &\le 2,\\\ x_{1},\,x_{2} &\ge 0. \end{aligned}
Como são só duas variáveis, vamos usar a interpretação geométrica: o ótimo ocorre num vértice da região viável, que é poligonal.

Passo 2

Para descobrir a forma da região viável, comparamos as cotas máximas em x_{2} impostas por cada inequação:
  • Da primeira inequação vem x_{2} \le \frac{3 - x_{1}}{3}.
  • Da segunda vem x_{2} \le 4 - x_{1}.
  • Da terceira vem x_{2} \le 2.
Em [0,3] (pois da primeira, em x_{2}=0, temos x_{1}\le3) verifica-se que
\frac{3 - x_{1}}{3} \;\le\; 4 - x_{1} \quad\text{e}\quad \frac{3 - x_{1}}{3}\;\le\; 2,
logo a restrição x_{1}+3x_{2}\le3 domina as outras duas na região x_{1},x_{2}\ge0. Assim a região viável é o triângulo cujos lados são
x_{1}=0,\quad x_{2}=0,\quad x_{1}+3x_{2}=3.

Passo 3

Os vértices desse triângulo são:
(1) interseção de x_{1}=0 com x_{2}=0: (0,0),
(2) interseção de x_{2}=0 com x_{1}+3x_{2}=3: (3,0),
(3) interseção de x_{1}=0 com x_{1}+3x_{2}=3: \bigl(0,1\bigr).

Passo 4

Avaliação de Z=4x_{1}+3x_{2} em cada vértice:
  • Em (0,0): Z = 4\cdot0 + 3\cdot0 = 0.
  • Em (3,0): Z = 4\cdot3 + 3\cdot0 = 12.
  • Em (0,1): Z = 4\cdot0 + 3\cdot1 = 3.

Resposta

A solução ótima é
x_{1}^{*}=3,\quad x_{2}^{*}=0,
com valor máximo
Z_{\max}=12.

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