Resolva os exerćıcios a seguir, seja minimizando ou maximizando, e fa, ca a an’alise de sensibilidade.
  1. Minimizar Z
\begin{aligned} \operatorname{Min} Z & =4 x_{1}+8 x_{2} \\ \text { sujeito }{ }^{\prime} a & : \\ 3 x_{1}+2 x_{2} & \leq 18 \\ x_{1}+x_{2} & =5 \\ x_{1} & \geq 4 \\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para minimizar
Z = 4x_{1} + 8x_{2}
sujeito a
3x_{1} + 2x_{2} \le 18,\quad x_{1} + x_{2} = 5,\quad x_{1} \ge 4,\quad x_{1},x_{2} \ge 0.
O conteúdo é Programação Linear com redução via a igualdade e depois Análise de Sensibilidade nos coeficientes e no lado-direito.

Passo 2

Usamos a igualdade x_{1}+x_{2}=5 para eliminar x_{2}. Assim
x_{2}=5 - x_{1},
e as restrições ficam:
x_{1}\ge 4,\quad x_{2}=5-x_{1}\ge 0\implies x_{1}\le 5,\quad 3x_{1}+2(5-x_{1})\le 18\implies x_{1}\le 8.
Logo a faixa viável de x_{1} é
4 \le x_{1} \le 5.

Passo 3

Substituímos na função-objetivo:
Z(x_{1})=4x_{1}+8(5-x_{1})=40-4x_{1}.
Como Z(x_{1}) é decrescente em x_{1}, o valor mínimo ocorre no extremo x_{1} máximo do intervalo, isto é, em x_{1}=5. Para comparação, em x_{1}=4 teríamos Z=4\cdot4+8\cdot1=24, e em x_{1}=5 obtemos
x_{2}=0,\quad Z=4\cdot5+8\cdot0=20.

Passo 4

Concluímos que a solução ótima é
(x_{1},x_{2})=(5,0),
com valor ótimo
Z_{\min}=20.

Passo 5

Análise de sensibilidade:
1. Variação dos custos c_{1} e c_{2}. A solução (5,0) permanece ótima enquanto a inclinação das iso-custos
-c_{1}/c_{2} for maior que a inclinação do segmento viável, que é -1. Assim
-\frac{c_{1}}{c_{2}} > -1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{c_{1}}{c_{2}} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad c_{1} < c_{2}.
No caso limite c_{1}=c_{2} há soluções ótimas ao longo de todo o segmento \{(x_{1},5-x_{1})\mid 4\le x_{1}\le5\}. Se c_{1}>c_{2}, a nova solução ótima é o ponto (4,1).
2. Variação do lado-direito da primeira restrição 3x_{1}+2x_{2}\le b. No ótimo atual há folga nessa restrição ( 3\cdot5+2\cdot0=15<18 ), portanto a solução (5,0) continua viável e ótima enquanto b\ge15. Se b<15, o vértice (5,0) deixa de ser viável.

Resposta

A solução ótima é (x_{1},x_{2})=(5,0) com Z_{\min}=20.
Análise de sensibilidade:
\bullet Para custos, (5,0) é ótimo se c_{1}<c_{2} (se c_{1}=c_{2} há ótimos múltiplos; se c_{1}>c_{2} muda para (4,1)).
\bullet Para o RHS da restrição 3x_{1}+2x_{2}\le b, (5,0) segue ótimo para b\ge15.

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