Utilizando o m’etodo simplex, resolva os exerc’ıcios propostos a seguir e fac,a a ańalise de sensibilidade.
  1. Maximize Z=3 x_{1}+2 x_{2}+ 5 x_{3}
\operatorname{Max} Z=3 x_{A}+2 x_{B}+5 x_{C}
sujeito `a :
3 x_{A}+4 x_{B}+3 x_{C} \leq 3
2 x_{A}+1 x_{B}+5 x_{C} \leq 8
3 x_{A}+5 x_{B}+3 x_{C} \leq 8
x_{A}, x_{B}, x_{C} \geq 0

Passo 1

Temos o problema de programação linear
\text{Maximize}\\ Z = 3x_{A} + 2x_{B} + 5x_{C}
sujeito a
\begin{cases} 3x_{A} + 4x_{B} + 3x_{C} \le 3,\\\\ 2x_{A} + 1x_{B} + 5x_{C} \le 8,\\\\ 3x_{A} + 5x_{B} + 3x_{C} \le 8,\\\ x_{A},x_{B},x_{C}\ge0. \end{cases}
Vamos usar o método Simplex para encontrar a solução ótima e, em seguida, fazer a análise de sensibilidade (identificar variáveis básicas, restrições ativas e preços-sombra).

Passo 2

Introduzimos variáveis folga s_{1},s_{2},s_{3}\ge0 para transformar as desigualdades em igualdades:
\begin{cases} 3x_{A} + 4x_{B} + 3x_{C} + s_{1} = 3,\\\\ 2x_{A} + 1x_{B} + 5x_{C} + s_{2} = 8,\\\\ 3x_{A} + 5x_{B} + 3x_{C} + s_{3} = 8. \end{cases}
A função-objetivo em forma padrão fica
\text{Maximize}\\ Z = 3x_{A} + 2x_{B} + 5x_{C} + 0\,s_{1}+0\,s_{2}+0\,s_{3}.

Passo 3

Montamos a tabela inicial (variáveis de base B: s_{1},s_{2},s_{3}, todas com custo-coeficiente c_{B}=0):
Base x_{A} x_{B} x_{C} s_{1} s_{2} s_{3} RHS
s_{1} 3 4 3 1 0 0 3
s_{2} 2 1 5 0 1 0 8
s_{3} 3 5 3 0 0 1 8
Z_j - c_j -3 -2 -5 0 0 0 0
Identificamos x_{C} como variável que entra (mais negativo em Z_j-c_j).

Passo 4

Teste de razão para escolher a variável que sai:
\frac{\text{RHS}}{\text{coeficiente de }x_C}:\quad \frac{3}{3}=1,\quad \frac{8}{5}=1{,}6,\quad \frac{8}{3}\approx2{,}67.
Logo, s_{1} sai e pivotamos na linha 1, coluna x_C.
Nova linha 1 (dividida por 3):
x_C + \tfrac{4}{3}x_A + 1x_C\!/3? \quad\longrightarrow\quad x_C + \tfrac{4}{3}x_B + s_1/3 = 1.
Na prática, obtemos após o pivô:
Base x_{A} x_{B} x_{C} s_{1} s_{2} s_{3} RHS
x_{C} 1 \tfrac{4}{3} 1 \tfrac{1}{3} 0 0 1
s_{2} 0 -\tfrac{5}{3} 0 -\tfrac{2}{3} 1 0 6
s_{3} 0 1 0 -1 0 1 5
Z_j - c_j 2 \tfrac{14}{3} 0 \tfrac{5}{3} 0 0 5
Os valores de Z_j - c_j ficaram todos não negativos, indicando otimalidade.

Passo 5

Da tabela final, as variáveis básicas são
x_{C}=1,\quad s_{2}=6,\quad s_{3}=5,
e as não-básicas x_{A}=0, x_{B}=0, s_{1}=0.
O valor ótimo da função-objetivo é
Z_{\max} = 5.

Passo 6

Análise de sensibilidade básica:
  • A única restrição ativa (binding) é a primeira ( 3x_{A}+4x_{B}+3x_{C}=3), pois s_{1}=0.
  • Os preços-sombra ( y) vêm dos coeficientes de s_{1},s_{2},s_{3} em Z_j-c_j: y_{1} = \tfrac{5}{3},\quad y_{2}=0,\quad y_{3}=0.Isso significa que um aumento unitário no RHS da primeira restrição eleva Z em 5/3, enquanto alterações nas demais não afetam Z (já que as folgas s_{2} e s_{3} são positivas).
  • Como nenhuma outra variável não-básica tem Z_j-c_j<0, a base atual permanece ótima para pequenas variações dos coeficientes de custo ou do RHS dentro das faixas de tolerância geradas pelo simplex.

Resposta

x_{A}=0,\quad x_{B}=0,\quad x_{C}=1,\quad Z_{\max}=5.
Preços-sombra: y_{1}=5/3, y_{2}=0, y_{3}=0.

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