Maximize f(x, y)=2 x+2 x y+y

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função de duas variáveis sem qualquer restrição,
portanto nosso domínio é
R^2. O conteúdo envolvido é otimização de funções de várias variáveis e vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana.

Passo 2

Para encontrar candidatos a extremos, calculamos as derivadas parciais de
f(x,y)=2x+2xy+y:
partial fpartial x=2+2y
partial fpartial y=2x+1

Passo 3

Igualamos cada derivada parcial a zero para achar o ponto crítico:
2+2y=0Rightarrow y=-1
2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12
Logo o único ponto crítico é
(-tfrac12, -1).

Passo 4

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana:
Hf(x,y)= partial^2 fpartial x^2&partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x&partial^2 fpartial y^2 =0&22&0
Os autovalores de Hf são +2 e -2, indicando que o ponto é de sela (sinal misto).

Passo 5

Como se trata de uma função indefinida (sela) e não há restrição no domínio, f(x,y) não é limitada superiormente. Assim, não há valor máximo finito.

Resposta

A função não possui máximo (é não limitada superiormente).

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