Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(e) Se a função
encontrada no item anterior representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?
(e) Se a função
Passo 1
O enunciado pede para analisar o comportamento do deslocamento u(t) de uma massa presa a uma mola, sujeito à equação diferenci…cidade linear u’’+0,5u’+2u=0 – ou seja, identificar se há oscilações e como a amplitude varia com o tempo.
Passo 2
Para entender o tipo de movimento, escrevemos a equação característica associada:
e calculamos suas raízes:
Passo 3
Como as raízes são complexas com parte real negativa, o sistema é subamortecido. A solução geral fica
o que descreve oscilações cuja amplitude decai exponencialmente devido ao fator
.
Passo 4
Do ponto de vista físico, isso significa que a massa vai oscilar em volta da posição de equilíbrio, mas essas oscilações vão ficando cada vez menores por causa do amortecimento, tendendo a zero quando
.
Resposta
O deslocamento realiza oscilações amortecidas: oscila com frequência
e amplitude decrescente exponencial
, tendendo a zero conforme o tempo cresce.