Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
(e) Se a função u(t) encontrada no item anterior representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?

Passo 1

O enunciado pede para analisar o comportamento do deslocamento u(t) de uma massa presa a uma mola, sujeito à equação diferenci…cidade linear u’’+0,5u’+2u=0 – ou seja, identificar se há oscilações e como a amplitude varia com o tempo.

Passo 2

Para entender o tipo de movimento, escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 0.5,r + 2 = 0
e calculamos suas raízes:
r = -0.5 pm raiz(0.5)^2 - 4cdot1cdot22 = -0.5 pm raiz-7.752 = -0.25 pm i,raiz314

Passo 3

Como as raízes são complexas com parte real negativa, o sistema é subamortecido. A solução geral fica
u(t) = e^-0.25,tl(C1cosl(tfracraiz314tr)+C2sinl(tfracraiz314tr)r),
o que descreve oscilações cuja amplitude decai exponencialmente devido ao fator e^-0.25t.

Passo 4

Do ponto de vista físico, isso significa que a massa vai oscilar em volta da posição de equilíbrio, mas essas oscilações vão ficando cada vez menores por causa do amortecimento, tendendo a zero quando ttoinfty.

Resposta

O deslocamento realiza oscilações amortecidas: oscila com frequência omega=tfracraiz314 e amplitude decrescente exponencial e^-0.25t, tendendo a zero conforme o tempo cresce.

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