Calcule
, sabendo que
e
são inteiros primos entre si.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão quer que a gente calcule o máximo divisor comum (mdc) de $ a + b $ e $ a - b $, sabendo que $ a $ e $ b $ são números inteiros que são primos entre si (ou seja, o mdc deles é 1). Para resolver, vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades do mdc.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o máximo divisor comum de $ a + b $ e $ a - b $ de $ d $. Ou seja,
Passo 3
Sabemos que se $ d $ divide tanto $ a + b $ quanto $ a - b $, então $ d $ também divide a soma e a diferença desses dois termos. Então,
Passo 4
Isso significa que $ d $ divide $ 2a $ e também $ 2b $. Já que $ a $ e $ b $ são primos entre si ($ \operatorname{mdc}(a, b) = 1 $), o único divisor comum de $ 2a $ e $ 2b $ é 2.
Passo 5
Portanto, $ d $ pode ser 1 ou 2, dependendo se $ a + b $ e $ a - b $ são pares ou ímpares.
- Se ambos $ a $ e $ b $ são ímpares, então $ a + b $ e $ a - b $ são pares, e $ d = 2 $.
- Se um deles é par e o outro é ímpar, então $ a + b $ e $ a - b $ são ímpares, e $ d = 1 $.
Resposta
O máximo divisor comum de $ a + b $ e $ a - b $ é 1 ou 2, dependendo da paridade de $ a $ e $ b $.