Um modelo reduzido de adutora (escala 1:10) será construído para simular um conduto de uma obra de sistema de abastecimento de água. Nesse tipo de sistema, predominam as forças de inércia e as forças viscosas. Sabendo-se que o protótipo possui
de diâmetro e conduzirá a vazão de
, determinar qual vazão deve circular pelo modelo para atingir a similaridade dinâmica. Considere que o fluido nos 2 sistemas é água a
s e
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a vazão do modelo
que assegura similaridade dinâmica com o protótipo.
Dados fornecidos:
- Escala linear do modelo:
. Logo o diâmetro do modelo é do protótipo. - Diâmetro do protótipo:
. - Vazão do protótipo:
. - Fluido nos dois sistemas: água a
com viscosidade dinâmica e densidade .
Passo 2
Conceito básico usado (aula rápida):
- Para que duas correntes sejam dinamicamente semelhantes quando predominam forças de inércia e viscosas, devemos igualar o número de Reynolds entre protótipo e modelo.
- O número de Reynolds é definido por
onde
é a densidade do fluido,
é a velocidade média do escoamento,
é uma dimensão característica (aqui o diâmetro) e
é a viscosidade dinâmica. Explicando cada termo:
dá a “massa por volume” do fluido,
é a velocidade que o fluido tem no conduto,
escala o comprimento relevante para o escoamento e
mede a resistência do fluido ao cisalhamento (viscosidade).
Passo 3
Impondo similaridade dinâmica (igualdade de Reynolds):
Como
e
são os mesmos nos dois casos, eles se cancelam, ficando
Dessa igualdade segue a relação entre velocidades médias:
Passo 4
Relacionando velocidades com vazões:
- A vazão média
e a velocidade média numa seção circular estão ligadas por
onde
é a área da seção:
.
- Assim
. Substituindo na relação do passo anterior:
Multiplicando por
e substituindo
(portanto
), obtemos
Ou seja, para igual Re em escoamento interno circular, a vazão do modelo escala simplesmente como a razão linear dos diâmetros:
Passo 5
Aplicando a escala numérica:
- Como a escala é
, temos
- Logo, pela fórmula do passo anterior:
Passo 6
Verificação numérica (cheirinho de certeza):
- Área do protótipo:
- Velocidade média do protótipo:
- Pela relação de Re,
. - Área do modelo:
- Vazão do modelo:
confirmando o resultado e garantindo que
numericamente.
Passo 7
Recapitulando de forma curta e otimista: para manter a similaridade dinâmica (igual Re) entre protótipo e modelo geométrico
com mesmo fluido, a vazão do modelo fica 1/10 da vazão do protótipo. Força, você já tem a resposta e a verificação feita!