Um modelo reduzido de adutora (escala 1:10) será construído para simular um conduto de uma obra de sistema de abastecimento de água. Nesse tipo de sistema, predominam as forças de inércia e as forças viscosas. Sabendo-se que o protótipo possui 1,5 \mathrm{~m} de diâmetro e conduzirá a vazão de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, determinar qual vazão deve circular pelo modelo para atingir a similaridade dinâmica. Considere que o fluido nos 2 sistemas é água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1 \cdot 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot\right. s e \left.\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a vazão do modelo Q_{\text{modelo}} que assegura similaridade dinâmica com o protótipo.
Dados fornecidos:
  • Escala linear do modelo: 1:10. Logo o diâmetro do modelo D_{\text{m}} é 1/10 do protótipo.
  • Diâmetro do protótipo: D_{\text{p}} = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Vazão do protótipo: Q_{\text{p}} = 2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Fluido nos dois sistemas: água a 20^\circ\mathrm{C} com viscosidade dinâmica \mu = 1\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s} e densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 2

Conceito básico usado (aula rápida):
  • Para que duas correntes sejam dinamicamente semelhantes quando predominam forças de inércia e viscosas, devemos igualar o número de Reynolds entre protótipo e modelo.
  • O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, V é a velocidade média do escoamento, D é uma dimensão característica (aqui o diâmetro) e \mu é a viscosidade dinâmica. Explicando cada termo: \rho dá a “massa por volume” do fluido, V é a velocidade que o fluido tem no conduto, D escala o comprimento relevante para o escoamento e \mu mede a resistência do fluido ao cisalhamento (viscosidade).

Passo 3

Impondo similaridade dinâmica (igualdade de Reynolds):
\mathrm{Re}_{\text{p}}=\mathrm{Re}_{\text{m}}
\frac{\rho V_{\text{p}} D_{\text{p}}}{\mu}=\frac{\rho V_{\text{m}} D_{\text{m}}}{\mu}.
Como \rho e \mu são os mesmos nos dois casos, eles se cancelam, ficando
V_{\text{p}} D_{\text{p}} = V_{\text{m}} D_{\text{m}}.
Dessa igualdade segue a relação entre velocidades médias:
V_{\text{m}} = V_{\text{p}}\frac{D_{\text{p}}}{D_{\text{m}}}.

Passo 4

Relacionando velocidades com vazões:
  • A vazão média Q e a velocidade média V numa seção circular estão ligadas por
Q = V A,
onde A é a área da seção: A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Assim V = \dfrac{Q}{A}. Substituindo na relação do passo anterior:
\frac{Q_{\text{m}}}{A_{\text{m}}} = \frac{Q_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\cdot\frac{D_{\text{p}}}{D_{\text{m}}}.
Multiplicando por A_{\text{m}} e substituindo A \propto D^2 (portanto A_{\text{m}}/A_{\text{p}}=(D_{\text{m}}/D_{\text{p}})^2), obtemos
Q_{\text{m}} = Q_{\text{p}}\frac{D_{\text{p}}}{D_{\text{m}}}\frac{A_{\text{m}}}{A_{\text{p}}} = Q_{\text{p}}\frac{D_{\text{p}}}{D_{\text{m}}}\left(\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}\right)^2 = Q_{\text{p}}\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}.
Ou seja, para igual Re em escoamento interno circular, a vazão do modelo escala simplesmente como a razão linear dos diâmetros:
Q_{\text{m}} = Q_{\text{p}}\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}.

Passo 5

Aplicando a escala numérica:
  • Como a escala é 1:10, temos
D_{\text{m}} = \frac{1}{10}D_{\text{p}} = \frac{1}{10}\cdot 1,5\\ \mathrm{m} = 0,15\\ \mathrm{m}.
  • Logo, pela fórmula do passo anterior:
Q_{\text{m}} = Q_{\text{p}}\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}} = 2\cdot\frac{0,15}{1,5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 2\cdot\frac{1}{10}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0,2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Verificação numérica (cheirinho de certeza):
  • Área do protótipo:
A_{\text{p}}=\frac{\pi D_{\text{p}}^2}{4}=\frac{\pi\,(1,5)^2}{4}\approx 1,767\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média do protótipo:
V_{\text{p}}=\frac{Q_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\approx\frac{2}{1,767}\approx 1,131\\ \mathrm{m/s}.
  • Pela relação de Re, V_{\text{m}}=V_{\text{p}}(D_{\text{p}}/D_{\text{m}})=1,131\cdot 10\approx 11,31\\ \mathrm{m/s}.
  • Área do modelo:
A_{\text{m}}=\frac{\pi D_{\text{m}}^2}{4}=\frac{\pi\,(0,15)^2}{4}\approx 0,01767\\ \mathrm{m}^2.
  • Vazão do modelo:
Q_{\text{m}}=V_{\text{m}}A_{\text{m}}\approx 11,31\cdot 0,01767\approx 0,20\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
confirmando o resultado e garantindo que \mathrm{Re}_{\text{p}}=\mathrm{Re}_{\text{m}} numericamente.

Passo 7

Recapitulando de forma curta e otimista: para manter a similaridade dinâmica (igual Re) entre protótipo e modelo geométrico 1:10 com mesmo fluido, a vazão do modelo fica 1/10 da vazão do protótipo. Força, você já tem a resposta e a verificação feita!

Resposta

Q_{\text{modelo}}=0,2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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