Máximos e Mínimos
(3.6) [1, Ex.30, p.587] A Lei de Hooke diz que o comprimento L de uma mola é uma função linear da força F aplicada sobre a mola. Assim, existem constantes alpha, beta tais que L=alpha+beta F. A tabela abaixo mostra o resultado de pendurarmos vários pesos na mola.
F (onça) 2 4 6 8
L (polegadas) 7,4 9,6 11,5 13,6
(a) Determine as constantes alpha e beta que definem a reta de quadrados mínimos para esses dados.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.

Passo 1

Recebemos dados de força F e comprimento L de uma mola seguindo a Lei de Hooke, que diz que L = alpha + beta F. O conteúdo principal aqui é ajuste de reta por mínimos quadrados (regressão linear simples). Para resolver, vamos precisar calcular as somas dos valores de F, L, F^2 e F,L e depois usar as fórmulas para o coeficiente angular beta e o coeficiente linear alpha.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias com os dados: número de pontos n=4, sum F, sum L, sum F^2 e sum F,L. Especificamente: sum F = 2 + 4 + 6 + 8 = 20, sum L = 7.4 + 9.6 + 11.5 + 13.6 = 42.1, sum F^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 120, sum F,L = 2cdot7.4 + 4cdot9.6 + 6cdot11.5 + 8cdot13.6 = 231.

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de mínimos quadrados para achar beta e alpha: beta = nsum F,L - (sum F)(sum L)nsum F^2 - (sum F)^2 = 4cdot231 - 20cdot42.14cdot120 - 20^2 = 8280 = 1.025. Depois alpha = sum L - betasum Fn = 42.1 - 1.025cdot204 = 5.4. Assim, a reta ajustada é L = 5.4 + 1.025,F.

Passo 4

Para estimar o comprimento quando F = 5, basta substituir na reta ajustada: L(5) = 5.4 + 1.025cdot5 = 10.525. Logo, o comprimento estimado é aproximadamente 10.525 polegadas.

Resposta

(a) alpha = 5.4, beta = 1.025. (b) Para F=5, L approx 10.525 polegadas.

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