Máximos e Mínimos
(3.6) [1, Ex.30, p.587] A Lei de Hooke diz que o comprimento
de uma mola é uma função linear da força
aplicada sobre a mola. Assim, existem constantes
tais que
. A tabela abaixo mostra o resultado de pendurarmos vários pesos na mola.
(3.6) [1, Ex.30, p.587] A Lei de Hooke diz que o comprimento
F (onça) | 2 | 4 | 6 | 8 |
---|---|---|---|---|
L (polegadas) | 7,4 | 9,6 | 11,5 | 13,6 |
(a) Determine as constantes
e
que definem a reta de quadrados mínimos para esses dados.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.
Passo 1
Recebemos dados de força
e comprimento
de uma mola seguindo a Lei de Hooke, que diz que
. O conteúdo principal aqui é ajuste de reta por mínimos quadrados (regressão linear simples). Para resolver, vamos precisar calcular as somas dos valores de
,
,
e
e depois usar as fórmulas para o coeficiente angular
e o coeficiente linear
.
Passo 2
Calculamos as somas necessárias com os dados: número de pontos
,
,
,
e
. Especificamente:
,
,
,
.
Passo 3
Aplicamos as fórmulas de mínimos quadrados para achar
e
:
. Depois
. Assim, a reta ajustada é
.
Passo 4
Para estimar o comprimento quando
, basta substituir na reta ajustada:
. Logo, o comprimento estimado é aproximadamente
polegadas.
Resposta
(a)
,
. (b) Para
,
polegadas.