Um mecânico aplica uma força
F=(3 i+4 j-2 k) N
sobre uma chave de boca enquanto ela se move no espaço seguindo o deslocamento
d=(5 i-2 j+3 k) m
(a) Determine o trabalho W realizado pela força ao longo do deslocamento, sabendo que o trabalho é dado pelo produto escalar W=F cdot d. A unidade de trabalho no SI é joule (J). (b) Suponha que a força seja aplicada na extremidade da chave de boca, que gira em torno do ponto
r=(2 i+3 j+k) m
em relação ao eixo de rotação. Descreva o vetor torque resultante tau, e determine seu módulo, para essa força em relação à origem, sabendo que o torque é descrito pelo produto escalar tau=r times F. A unidade do módulo do torque no SI é kg cdot m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado traz dois problemas de Física vetorial:
• (a) Calcular o trabalho realizado por uma força vetorial
• (b) Calcular o torque gerado por essa mesma força em relação à origem
Tudo isso envolve dois conteúdos principais:
  1. Produto Escalar (para achar o trabalho)
  2. Produto Vetorial (para achar o torque)
Pra resolver, vamos usar as formas:
  • Trabalho:
  • Torque:

Passo 2

(a) Produto Escalar e Trabalho
  1. Teoria (produto escalar):
    Se vec F cdot vec d = Fx,dx + Fy,dy + Fz,dz e vec F = (3,,4,,-2),N, vec d = (5,,-2,,3),m , então W = 3cdot5 ;+; 4cdot(-2) ;+; (-2)cdot3 = 15 ;-; 8 ;-; 6 = 1
  2. Aplicando aos vetores dados: Fazendo a conta componente a componente: A unidade é joule (J).

Passo 3

(b) Produto Vetorial e Torque
  1. Teoria (produto vetorial):
    Para vectau = vec r times vec F = hat i & hat j & hat k rx & ry & rz Fx & Fy & Fz e taux = ry Fz - rz Fy, tauy = rz Fx - rx Fz, tauz = rx Fy - ry Fx ,
    o torque é
    vec r = (2,,3,,1),m, vec F = (3,,4,,-2),N
    Isso significa calcular:
    taux = 3cdot(-2) ;-; 1cdot4 = -6 - 4 = -10, tauy = 1cdot3 ;-; 2cdot(-2) = 3 + 4 =;7, tauz = 2cdot4 ;-; 3cdot3 = 8 - 9 = -1
  2. Aplicando ao problema:
    vectau = (-10),hat i ;+; 7,hat j ;-;1,hat k (unidade N·m)
    Calculando cada componente:
    |vectau| = raiztaux^2 + tauy^2 + tauz^2 = raiz(-10)^2 + 7^2 + (-1)^2 = raiz100 + 49 + 1 = raiz150
    Então
  3. Módulo do torque:
    Para achar o tamanho do vetor , usamos

Resposta

• (a) Trabalho:
• (b) Torque:
Módulo:

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