As posições de duas partículas A e B são descritas a seguir
& rA(t)=2 t^2 i+(2+3 t) j+5 t k & rB(t)=4 t^2 j-3 t k
sendo a posição dada em metros e o tempo em segundos. Calcule (a) o módulo da velocidade de cada partícula no instante de tempo t=2 s, e (b) o vetor aceleração e seu respectivo módulo para ambas as partículas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que as posições de duas partículas A e B são dadas por
vec rA(t)=2t^2,hat i+(2+3t),hat j+5t,hat k e vec rB(t)=0cdothat i+4t^2,hat j-3t,hat k
Isso é um problema de Cinemática Vetorial: a gente vai precisar lembrar que
– velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo,
– aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
e usar as regras básicas de derivação ( ddtt^n=nt^n-1, ddt(c,t)=c, etc.).

Passo 2

Começando pelas velocidades:
vec vA(t)=dvec rAdt =ddtl(2t^2,hat ir)+ddtl((2+3t),hat jr)+ddtl(5t,hat kr) =4t,hat i+3,hat j+5,hat k
vec vB(t)=dvec rBdt =ddtl(4t^2,hat jr)+ddtl(-3t,hat kr) =8t,hat j-3,hat k
Agora, em t=2,s:
vec vA(2)=4cdot2,hat i+3,hat j+5,hat k=8,hat i+3,hat j+5,hat k,
vec vB(2)=8cdot2,hat j-3,hat k=16,hat j-3,hat k
E os módulos:
|vec vA(2)|=raiz8^2+3^2+5^2=raiz64+9+25=raiz98=7raiz2,
|vec vB(2)|=raiz0^2+16^2+(-3)^2=raiz256+9=raiz265

Passo 3

Agora a aceleração é a derivada da velocidade:
vec aA(t)=dvec vAdt=ddt(4t,hat i+3,hat j+5,hat k) =4,hat i+0,hat j+0,hat k=4,hat i
vec aB(t)=dvec vBdt=ddt(8t,hat j-3,hat k) =8,hat j+0,hat k=8,hat j
Essas acelerações são constantes, então em t=2,s continuam as mesmas. Os módulos são
|vec aA|=4, |vec aB|=8

Resposta

(a) Módulos das velocidades em t=2,s:
|vec vA(2)|=7raiz2 m/s, |vec vB(2)|=raiz265 m/s
(b) Vetores aceleração e seus módulos:
vec aA=4,hat i m/s^2, |vec aA|=4 m/s^2;
vec aB=8,hat j m/s^2, |vec aB|=8 m/s^2

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