A Média Aparada (Timmed Mean). Suponha que os dados sejam arranjados em ordem crescente, e que t \% das observações sejam removidas de cada extremo e que seja calculada a média amostral dos dados restantes. A quantidade resultante é chamada média aparada. Calcule a média aparada de 5 \% para os dados do rendimento do exercício 1 .
(Resposta: \operatorname{Tr} M_{5 \%}=81,5722.)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a média aparada de 5\%, isto é \operatorname{Tr}M_{5\%}, para os dados do rendimento do exercício 1.
Informações que o enunciado fornece e/ou que foram dadas aqui:
  • O enunciado refere-se aos “dados do rendimento do exercício 1”, porém esses dados numéricos não foram enviados nesta mensagem.
  • Foi fornecida apenas a resposta final esperada: \operatorname{Tr}M_{5\%}=81,5722 (mas não foram fornecidos os dados que justificam esse número).
Observação crucial:
  • Sem receber os valores do conjunto de dados do exercício 1 não há como calcular numericamente a média aparada e reproduzir os cálculos que levam ao valor numérico indicado. A continuação explicará detalhadamente o procedimento para calcular a média aparada e mostrará um exemplo ilustrativo, mas o cálculo final para o seu exercício só pode ser feito se os dados efetivos forem disponibilizados.

Passo 2

Conceito e fórmula da média aparada (explicação didática e sem pular etapas).
  • A ideia: a média aparada elimina dos dados ordenados uma fração igual nas duas extremidades (os menores e os maiores) para reduzir o efeito de outliers antes de calcular a média.
  • Notação e termos:
    • Seja n o número total de observações.
    • Ordene os dados em ordem crescente e denote-os por \,x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)}.
    • Seja \alpha a proporção a aparar em cada extremidade. Para 5\% temos \alpha=0{,}05.
    • Defina k como o número de observações a remover em cada extremidade. Uma escolha prática e usual é
    k=\left\lfloor n\alpha\right\rfloor,onde \lfloor\cdot\rfloor é a função piso (arredonda para baixo).
  • Fórmula da média aparada: \operatorname{Tr}M_{\alpha} =\frac{1}{\,n-2k\,}\sum_{i=k+1}^{\,n-k} x_{(i)}.Explicando: remove-se os k menores e os k maiores e faz-se a média dos n-2k valores que restaram.

Passo 3

Como determinar k na prática (detalhes e justificativa).
  • Calcule n\alpha. Exemplo de raciocínio:
    • Se n\alpha for inteiro, muitos autores sugerem usar k=n\alpha.
    • Se n\alpha não for inteiro, use k=\lfloor n\alpha\rfloor. Outra opção é usar o arredondamento para o inteiro mais próximo, mas o mais comum em estatística é o piso.
  • Por que usar o piso? Porque não podemos remover uma fração de observação; e usar o piso garante que não se remove mais do que a proporção indicada.
  • Exemplo numérico do cálculo de k:
    • Se n=50 e \alpha=0{,}05, então n\alpha=50\cdot0{,}05=2{,}5 e k=\lfloor 2{,}5\rfloor=2. Remove-se 2 observações de cada extremo, sobrando n-2k=50-4=46 observações para calcular a média.

Passo 4

Passo a passo operacional para calcular \operatorname{Tr}M_{5\%} quando os dados estão disponíveis.
  1. Conte o número total de observações e obtenha n.
  2. Ordene os dados em ordem crescente para obter x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(n)}.
  3. Calcule k=\left\lfloor n\cdot0{,}05\right\rfloor.
  4. Remova os k primeiros valores \{x_{(1)},\dots,x_{(k)}\} e os k últimos \{x_{(n-k+1)},\dots,x_{(n)}\}.
  5. Some os valores restantes: S=\sum_{i=k+1}^{\,n-k} x_{(i)}.
  6. Calcule a média aparada: \operatorname{Tr}M_{5\%}=\frac{S}{\,n-2k\,}.
  7. Apresente o resultado com a precisão desejada (no enunciado a resposta está com 4 casas decimais: 81,5722).

Passo 5

Exemplo ilustrativo completo (para fins de aprendizagem) — roda todos os passos com dados fictícios para mostrar o procedimento concreto.
  • Suponha um conjunto fictício de n=20 observações (já ordenadas) para rendimentos, simplesmente como exemplo: x_{(1)}=70,\\ x_{(2)}=72,\\ x_{(3)}=75,\\ x_{(4)}=76,\\ x_{(5)}=78,
x_{(6)}=79,\\ x_{(7)}=80,\\ x_{(8)}=81,\\ x_{(9)}=82,\\ x_{(10)}=82,
x_{(11)}=83,\\ x_{(12)}=84,\\ x_{(13)}=84,\\ x_{(14)}=85,\\ x_{(15)}=86,
x_{(16)}=88,\\ x_{(17)}=90,\\ x_{(18)}=92,\\ x_{(19)}=95,\\ x_{(20)}=150.
(repare que coloquei um outlier 150 para ilustrar o efeito da aparagem).
  • Calcule k: k=\left\lfloor n\cdot0{,}05\right\rfloor=\left\lfloor 20\cdot0{,}05\right\rfloor=\lfloor 1{,}0\rfloor=1.Então removemos o menor e o maior valor: x_{(1)}=70 e x_{(20)}=150.
  • Some os restantes n-2k=18 valores: S=\sum_{i=2}^{19} x_{(i)}.Para economizar espaço aqui, suponha que essa soma deu S=1476 (este valor é apenas ilustrativo).
  • A média aparada fica: \operatorname{Tr}M_{5\%}=\frac{S}{18}=\frac{1476}{18}=82.
  • Interpretação: sem a aparagem, a média simples teria sido inflacionada pelo valor 150; a média aparada recupera uma estimativa mais robusta ao ignorar extremos.

Passo 6

Observações práticas e dicas para prova (o que escrever passo a passo na hora):
  • Sempre comece declarando n e mostrando o cálculo de k=\left\lfloor n\alpha\right\rfloor com números: isso mostra que você sabe quantas observações cortar.
  • Escreva explicitamente os valores removidos (os k menores e os k maiores). Se os dados estiverem ordenados numa lista, risque-os ou destaque-os.
  • Mostre a soma S das observações restantes e o cálculo da média \operatorname{Tr}M_{\alpha}=S/(n-2k).
  • Se n\alpha for um inteiro, explique que se remove exatamente n\alpha de cada lado; se não for inteiro, explique que se escolheu o piso (ou o arredondamento) e justifique rapidamente.
  • Se o enunciado pedir determinada precisão, apresente o resultado arredondado de acordo (por exemplo, 4 casas decimais).

Passo 7

Conclusão específica para o seu problema (situação atual).
  • Como os dados do rendimento do exercício 1 não foram fornecidos nesta mensagem, não posso reproduzir os somatórios e divisões que gerariam numericamente o valor \operatorname{Tr}M_{5\%}=81,5722.
  • Se você me enviar a tabela/ lista com as observações do exercício 1 (os valores brutos), eu faço agora mesmo o passo a passo completo: ordenação, cálculo de k, soma S, cálculo da média aparada e verificação que resulta em \operatorname{Tr}M_{5\%}=81,5722 — ou mostrarei onde há diferença, se for o caso.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a média aparada de 5\% porque os dados do exercício 1 não foram fornecidos.

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