Uma empresa construtora de equipamentos para a indústria alimentar pretende adquirir termostatos para comandar a abertura de um certo tipo de fornos, contemplando a possibilidade de adquirí-los de um dos fornecedores A ou B. O fornecedor B vende os termostatos mais caros, alegando que são os mais confiáveis do mercado em relação à homogeneidade. Num ensaio de 11 termostatos do fornecedor A e 11 do fornecedor B, todos regulados à mesma temperatura, as temperaturas observadas de abertura dos fornos foram as seguintes:
\begin{array}{llllllllllll}\text { Fornecedor A } & 423 & 425 & 401 & 430 & 417 & 425 & 416 & 421 & 419 & 402 & 420 \\\ \text { Fornecedor B } & 419 & 414 & 422 & 435 & 418 & 421 & 429 & 410 & 406 & 418 & 421\end{array}
Será que o termostato do fornecedor B é mais confiável que o do fornecedor A ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o termostato do fornecedor B é mais confiável que o do fornecedor A. Os dados fornecidos (temperaturas de abertura, regulados à mesma temperatura) são:
  • Fornecedor A: 423,\;425,\;401,\;430,\;417,\;425,\;416,\;421,\;419,\;402,\;420.
  • Fornecedor B: 419,\;414,\;422,\;435,\;418,\;421,\;429,\;410,\;406,\;418,\;421.
Pergunta explícita a responder: será que os termostatos do fornecedor B apresentam maior confiabilidade em relação à homogeneidade das temperaturas de abertura (isto é, têm variância/dispersion menor) do que os do fornecedor A?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tamanho das amostras: n_A=11 e n_B=11.
  • Observações listadas acima para cada fornecedor.

Passo 2

Motivação e estratégia (sem me alongar em jargões): para verificar se B é mais confiável queremos comparar a dispersão (variância) das duas amostras. Vou calcular as médias amostrais e as variâncias amostrais de cada fornecedor passo a passo, porque a comparação se baseará nesses números. Primeiro faço as somas e médias.
Cálculo para A:
\sum_{i=1}^{11} x_{A,i} = 4599,\qquad \bar{x}_A=\frac{4599}{11}=418{,}0909\ldots
Cálculo para B:
\sum_{i=1}^{11} x_{B,i} = 4613,\qquad \bar{x}_B=\frac{4613}{11}=419{,}3636\ldots
(As somas foram obtidas somando explicitamente os valores listados no Passo 1.)

Passo 3

Agora explico e aplico a fórmula da variância amostral (só a essência, bem mastigada):
  • Fórmula: para uma amostra de tamanho n com observações x_1,\dots,x_n e média \bar{x}, a variância amostral (estimador não enviesado) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui s^2 estima a variância populacional \sigma^2. O denominador n-1 corrige o viés (é o chamado grau de liberdade).
Vou calcular \sum (x_i-\bar{x})^2 para cada fornecedor (mostro os desvios e quadrados para transparência).
Para A (com \bar{x}_A=418{,}0909\ldots):
  • desvios e quadrados aproximados:
    • 423-\bar{x}_A=4{,}9091, (4{,}9091)^2\approx24{,}099
    • 425-\bar{x}_A=6{,}9091, (6{,}9091)^2\approx47{,}744
    • 401-\bar{x}_A=-17{,}0909, (-17{,}0909)^2\approx292{,}099
    • 430-\bar{x}_A=11{,}9091, (11{,}9091)^2\approx141{,}867
    • 417-\bar{x}_A=-1{,}0909, (-1{,}0909)^2\approx1{,}190
    • 425-\bar{x}_A=6{,}9091, (6{,}9091)^2\approx47{,}744
    • 416-\bar{x}_A=-2{,}0909, (-2{,}0909)^2\approx4{,}371
    • 421-\bar{x}_A=2{,}9091, (2{,}9091)^2\approx8{,}465
    • 419-\bar{x}_A=0{,}9091, (0{,}9091)^2\approx0{,}827
    • 402-\bar{x}_A=-16{,}0909, (-16{,}0909)^2\approx258{,}919
    • 420-\bar{x}_A=1{,}9091, (1{,}9091)^2\approx3{,}645
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{11}(x_{A,i}-\bar{x}_A)^2 \approx 830{,}970.
Então
s_A^2=\frac{830{,}970}{11-1}=\frac{830{,}970}{10}=83{,}097.
E o desvio padrão amostral:
s_A\approx\sqrt{83{,}097}\approx9{,}118.

Passo 4

Cálculo análogo para B (com \bar{x}_B=419{,}3636\ldots):
  • desvios e quadrados aproximados:
    • 419-\bar{x}_B=-0{,}3636, \approx0{,}132
    • 414-\bar{x}_B=-5{,}3636, \approx28{,}766
    • 422-\bar{x}_B=2{,}6364, \approx6{,}951
    • 435-\bar{x}_B=15{,}6364, \approx244{,}561
    • 418-\bar{x}_B=-1{,}3636, \approx1{,}859
    • 421-\bar{x}_B=1{,}6364, \approx2{,}678
    • 429-\bar{x}_B=9{,}6364, \approx92{,}850
    • 410-\bar{x}_B=-9{,}3636, \approx87{,}657
    • 406-\bar{x}_B=-13{,}3636, \approx178{,}545
    • 418-\bar{x}_B=-1{,}3636, \approx1{,}859
    • 421-\bar{x}_B=1{,}6364, \approx2{,}678
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{11}(x_{B,i}-\bar{x}_B)^2 \approx 648{,}536.
Então
s_B^2=\frac{648{,}536}{11-1}=\frac{648{,}536}{10}=64{,}8536.
E o desvio padrão amostral:
s_B\approx\sqrt{64{,}8536}\approx8{,}055.
Observação prática: as variâncias amostrais obtidas são s_A^2\approx83{,}10 e s_B^2\approx64{,}85. À primeira vista B tem variância menor, mas precisamos verificar se essa diferença é estatisticamente significativa.

Passo 5

Definição do teste (a ideia por trás, bem explicada):
  • Queremos testar se a variância de B é menor que a de A. Escrevemos hipóteses:
H_0:\\ \sigma_A^2=\sigma_B^2
H_a:\\ \sigma_A^2>\sigma_B^2\quad\text{(equivalente a }\sigma_B^2<\sigma_A^2\text{)}
  • Estatística de teste clássica para comparar duas variâncias (quando as populações são aproximadamente normais) é a razão das variâncias amostrais:
F=\frac{s_A^2}{s_B^2}.
Sob H_0, F segue aproximadamente a distribuição F com (n_A-1,n_B-1) graus de liberdade, isto é F\sim F_{10,10} porque n_A=n_B=11.
  • Critério: como H_a é que \sigma_A^2>\sigma_B^2, valores altos de F dão suporte a H_a. Vou adotar um nível de significância convencional \alpha=0{,}05 (se o enunciado não indicar nível, 5% é padrão). Rejeita-se H_0 se
F>F_{1-\alpha}(10,10),
onde F_{1-\alpha}(10,10) é o quantil 95\% da F_{10,10}.

Passo 6

Cálculo do valor observado da estatística e decisão:
  • Estatística observada:
F_{\text{obs}}=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{83{,}097}{64{,}8536}\approx1{,}2818.
  • Graus de liberdade: (10,10).
  • Valor crítico (tabela F ou calculadora): para \alpha=0{,}05 e (10,10),
F_{0{,}95}(10,10)\approx2{,}978.
(Este valor é obtido em tabelas de distribuição F; serve como referência prática.)
Comparação:
F_{\text{obs}}\approx1{,}282 < 2{,}978 = F_{0{,}95}(10,10).
Logo não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Para dar uma ideia do p-valor: a probabilidade de observar um F tão grande ou maior que 1{,}282 sob H_0 é aproximadamente p\approx0{,}32 (aproximação numérica). Isso significa que a evidência contra H_0 é fraca.

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática (sem jargões):
  • O valor amostral de variância de B é menor ( s_B^2\approx64{,}85 contra s_A^2\approx83{,}10), ou seja, na amostra B as temperaturas estão um pouco mais concentradas.
  • Entretanto, ao testar formalmente se essa diferença é significativa, não encontramos evidência suficiente ao nível de significância de 5\%. Em termos práticos: a diferença observada pode muito bem ser devido à variação amostral natural — não é forte o bastante para concluir que, em populações, B tem variância menor que A.
Conclusão motivadora: a amostra dá uma leve indicação favorável a B, mas não é estatisticamente conclusiva. Se a decisão da empresa depende de provar que B é realmente mais confiável, seria prudente recolher mais dados (aumentar n) para ter maior poder de teste.

Resposta

Não — não há evidências estatisticamente significativas, ao nível de significância de 5\%, de que o fornecedor B seja mais confiável (tenha variância menor) do que o fornecedor A.

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