Uma empresa construtora de equipamentos para a indústria alimentar pretende adquirir termostatos para comandar a abertura de um certo tipo de fornos, contemplando a possibilidade de adquirí-los de um dos fornecedores A ou B. O fornecedor B vende os termostatos mais caros, alegando que são os mais confiáveis do mercado em relação à homogeneidade. Num ensaio de 11 termostatos do fornecedor A e 11 do fornecedor B, todos regulados à mesma temperatura, as temperaturas observadas de abertura dos fornos foram as seguintes:
Será que o termostato do fornecedor B é mais confiável que o do fornecedor A ? Justifique.
Será que o termostato do fornecedor B é mais confiável que o do fornecedor A ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se o termostato do fornecedor
é mais confiável que o do fornecedor
. Os dados fornecidos (temperaturas de abertura, regulados à mesma temperatura) são:
- Fornecedor
: . - Fornecedor
: .
Pergunta explícita a responder: será que os termostatos do fornecedor
apresentam maior confiabilidade em relação à homogeneidade das temperaturas de abertura (isto é, têm variância/dispersion menor) do que os do fornecedor
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tamanho das amostras:
e . - Observações listadas acima para cada fornecedor.
Passo 2
Motivação e estratégia (sem me alongar em jargões): para verificar se
é mais confiável queremos comparar a dispersão (variância) das duas amostras. Vou calcular as médias amostrais e as variâncias amostrais de cada fornecedor passo a passo, porque a comparação se baseará nesses números. Primeiro faço as somas e médias.
Cálculo para
:
Cálculo para
:
(As somas foram obtidas somando explicitamente os valores listados no Passo 1.)
Passo 3
Agora explico e aplico a fórmula da variância amostral (só a essência, bem mastigada):
- Fórmula: para uma amostra de tamanho
com observações e média , a variância amostral (estimador não enviesado) é
Aqui
estima a variância populacional
. O denominador
corrige o viés (é o chamado grau de liberdade).
Vou calcular
para cada fornecedor (mostro os desvios e quadrados para transparência).
Para
(com
):
- desvios e quadrados aproximados:
-
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
,
-
Somando os quadrados:
Então
E o desvio padrão amostral:
Passo 4
Cálculo análogo para
(com
):
- desvios e quadrados aproximados:
-
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
,
-
Somando os quadrados:
Então
E o desvio padrão amostral:
Observação prática: as variâncias amostrais obtidas são
e
. À primeira vista
tem variância menor, mas precisamos verificar se essa diferença é estatisticamente significativa.
Passo 5
Definição do teste (a ideia por trás, bem explicada):
- Queremos testar se a variância de
é menor que a de . Escrevemos hipóteses:
- Estatística de teste clássica para comparar duas variâncias (quando as populações são aproximadamente normais) é a razão das variâncias amostrais:
Sob
,
segue aproximadamente a distribuição
com
graus de liberdade, isto é
porque
.
- Critério: como
é que , valores altos de dão suporte a . Vou adotar um nível de significância convencional (se o enunciado não indicar nível, 5% é padrão). Rejeita-se se
onde
é o quantil
da
.
Passo 6
Cálculo do valor observado da estatística e decisão:
- Estatística observada:
-
Graus de liberdade:
. -
Valor crítico (tabela
ou calculadora): para e ,
(Este valor é obtido em tabelas de distribuição
; serve como referência prática.)
Comparação:
Logo não rejeitamos
ao nível
.
Para dar uma ideia do p-valor: a probabilidade de observar um
tão grande ou maior que
sob
é aproximadamente
(aproximação numérica). Isso significa que a evidência contra
é fraca.
Passo 7
Interpretação final e conclusão didática (sem jargões):
- O valor amostral de variância de
é menor ( contra ), ou seja, na amostra as temperaturas estão um pouco mais concentradas. - Entretanto, ao testar formalmente se essa diferença é significativa, não encontramos evidência suficiente ao nível de significância de
. Em termos práticos: a diferença observada pode muito bem ser devido à variação amostral natural — não é forte o bastante para concluir que, em populações, tem variância menor que .
Conclusão motivadora: a amostra dá uma leve indicação favorável a
, mas não é estatisticamente conclusiva. Se a decisão da empresa depende de provar que
é realmente mais confiável, seria prudente recolher mais dados (aumentar
) para ter maior poder de teste.
Resposta
Não — não há evidências estatisticamente significativas, ao nível de significância de
, de que o fornecedor
seja mais confiável (tenha variância menor) do que o fornecedor
.