Problema 2. (30pts.) Uma indústria de componentes eletrônicos está interessada em avaliar a proporção de chips defeituosos que saem de uma linha de produçāo recém-ajustada. Para estimar essa proporçāo, uma amostra aleatória de n=400 chips foi selecionada e inspecionada. Dessa amostra, 48 chips foram classificados como defeituosos.
(a) Construa um intervalo de confiança otimista de 95 \%, para a verdadeira proporçāo populacional (p) de chips defeituosos produzidos por essa linha.
(b) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional de chips defeituosos com um nível de confiança de 95 \% e uma margem de erro de, no máximo, 3 \% (ou seja, 0,03 para mais ou para menos da proporção amostral). Use a proporção amostral encontrada na ítem anterior como estimativa preliminar para o cálculo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Tamanho da amostra: n=400.
  • Número de chips defeituosos na amostra: x=48.
  • A partir desses valores, a proporção amostral (estimador pontual) é \hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{48}{400}.
    Os pedidos são:
    (a) Construir um intervalo de confiança de 95\% para a proporção populacional p de chips defeituosos.
    (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra necessário para obter margem de erro máxima de 0,03 com nível de confiança de 95\%, usando a proporção amostral calculada como estimativa preliminar.

Passo 2

Vamos preparar a teoria e as fórmulas que vamos usar para o item (a). Quando se estima uma proporção com grande amostra, usa-se o intervalo aproximado (assintótico) baseado na distribuição normal:
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimador pontual).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda; para 95\% de confiança tem-se \alpha=0,05 e z_{0,975}=1,96.
  • O termo \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão do estimador \hat{p}).
    Condição de uso da aproximação normal (regra prática): n\hat{p}\ge5 e n(1-\hat{p})\ge5. Vamos verificar isso com os valores dados.

Passo 3

Calculemos a proporção amostral e verifiquemos as condições:
\hat{p}=\dfrac{48}{400}=0,12.
Verificações:
n\hat{p}=400\cdot0,12=48\ge5,\qquad n(1-\hat{p})=400\cdot0,88=352\ge5,
logo a aproximação normal é válida. Agora calculemos o erro padrão:
\text{EP}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,12\cdot0,88}{400}}=\sqrt{\dfrac{0,1056}{400}}=\sqrt{0,000264}=0,016248\ldots
Arredondando razoavelmente, \text{EP}\approx0,01625.

Passo 4

Calculemos a margem de erro para 95\% (usando z_{0,975}=1,96):
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\text{EP}=1,96\cdot0,016248\ldots=0,031847\ldots
Arredondando, \text{ME}\approx0,03185. Assim o intervalo de confiança é
\hat{p}\pm\text{ME}=0,12\pm0,03185.
Calculando os limites:
\text{limite inferior}=0,12-0,03185=0,08815\ldots\approx0,0882,
\text{limite superior}=0,12+0,03185=0,15185\ldots\approx0,1519.
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a 8,82\% até 15,19\% de chips defeituosos.

Passo 5

Agora o item (b): tamanho mínimo da amostra para margem de erro máxima E=0,03 com 95\% de confiança, usando \hat{p}=0,12 como estimativa prévia. A fórmula para n (quando se conhece/estima p) é obtida a partir de
E=z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}
resolvendo para n:
n=\dfrac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Substituindo z_{0,975}=1,96, p\approx\hat{p}=0,12 e E=0,03:
z_{0,975}^{2}=1,96^{2}=3,8416,
p(1-p)=0,12\cdot0,88=0,1056,
\text{portanto }n=\dfrac{3,8416\cdot0,1056}{0,03^{2}}=\dfrac{3,8416\cdot0,1056}{0,0009}.
Calculemos o numerador:
3,8416\cdot0,1056=0,405671\ldots
Dividindo:
n=\dfrac{0,405671\ldots}{0,0009}=450,745\ldots
Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir a margem de erro desejada devemos arredondar para cima, toma-se n=451.

Passo 6

Interpretação curta e dica prática:
  • O intervalo de confiança significa que, se repetíssemos amostragens similares muitas vezes, aproximadamente 95\% desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção p. Não é uma probabilidade sobre p em si, mas sobre o procedimento.
  • Para garantir a margem de erro pedida sempre arredonde o n calculado para cima. Se não se tiver boa estimativa preliminar de p, a escolha conservadora p=0,5 maximiza a variância e produz o maior n.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\%: (0,0882,\;0,1519)
Tamanho mínimo da amostra requerido: 451

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