Problema 2. (30pts.) Uma indústria de componentes eletrônicos está interessada em avaliar a proporção de chips defeituosos que saem de uma linha de produçāo recém-ajustada. Para estimar essa proporçāo, uma amostra aleatória de
chips foi selecionada e inspecionada. Dessa amostra, 48 chips foram classificados como defeituosos.
(a) Construa um intervalo de confiança otimista de
, para a verdadeira proporçāo populacional
de chips defeituosos produzidos por essa linha.
(b) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional de chips defeituosos com um nível de confiança de
e uma margem de erro de, no máximo,
(ou seja, 0,03 para mais ou para menos da proporção amostral). Use a proporção amostral encontrada na ítem anterior como estimativa preliminar para o cálculo.
(a) Construa um intervalo de confiança otimista de
(b) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional de chips defeituosos com um nível de confiança de
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Tamanho da amostra:
. - Número de chips defeituosos na amostra:
. - A partir desses valores, a proporção amostral (estimador pontual) é
.
Os pedidos são:
(a) Construir um intervalo de confiança depara a proporção populacional de chips defeituosos.
(b) Determinar o tamanho mínimo da amostra necessário para obter margem de erro máxima decom nível de confiança de , usando a proporção amostral calculada como estimativa preliminar.
Passo 2
Vamos preparar a teoria e as fórmulas que vamos usar para o item (a). Quando se estima uma proporção com grande amostra, usa-se o intervalo aproximado (assintótico) baseado na distribuição normal:
Explicando cada símbolo:
-
é a proporção amostral (estimador pontual). -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área em cada cauda; para de confiança tem-se e . - O termo
é o erro padrão (desvio padrão do estimador ).
Condição de uso da aproximação normal (regra prática):e . Vamos verificar isso com os valores dados.
Passo 3
Calculemos a proporção amostral e verifiquemos as condições:
Verificações:
logo a aproximação normal é válida. Agora calculemos o erro padrão:
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 4
Calculemos a margem de erro para
(usando
):
Arredondando,
. Assim o intervalo de confiança é
Calculando os limites:
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a
até
de chips defeituosos.
Passo 5
Agora o item (b): tamanho mínimo da amostra para margem de erro máxima
com
de confiança, usando
como estimativa prévia. A fórmula para
(quando se conhece/estima
) é obtida a partir de
resolvendo para
:
Substituindo
,
e
:
Calculemos o numerador:
Dividindo:
Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir a margem de erro desejada devemos arredondar para cima, toma-se
.
Passo 6
Interpretação curta e dica prática:
- O intervalo de confiança significa que, se repetíssemos amostragens similares muitas vezes, aproximadamente
desses intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção . Não é uma probabilidade sobre em si, mas sobre o procedimento. - Para garantir a margem de erro pedida sempre arredonde o
calculado para cima. Se não se tiver boa estimativa preliminar de , a escolha conservadora maximiza a variância e produz o maior .
Resposta
Intervalo de confiança de
:
Tamanho mínimo da amostra requerido:
Tamanho mínimo da amostra requerido: