A média de aprovação na disciplina de Estatística é 6,0 ou mais. Durante um período letivo, foram realizadas quatro arguições, sendo que a primeira arguição teve peso dois, a segunda e a terceira o dobro do peso da primeira e a última igual ao peso da primeira. Os resultados, incluindo os de uma prova de substituição optativa, foram os seguintes:
Estudantes 1^{\underline{\mathrm{a}}} 2{ }^{\underline{a}} 3{ }^{\underline{\mathrm{a}}} 4{ }^{\underline{a}} Optativa
1 2,5 4,5 5,0 6,0 7,0
2 2,0 8,5 7,0 3,0 5,0
3 8,5 10,0 9,0 8,5 nc
4 3,5 5,5 8,5 7,5 6,5
5 3,0 5,0 6,0 4,5 5,0
6 6,0 3,0 4,0 5,0 2,0
7 8,0 1,5 2,0 9,0 5,0
8 1,5 2,0 1,0 2,5 nc
9 7,5 8,0 8,5 10,0 nc
10 5,5 4,5 5,0 4,5 2,5
Sabendo-se que a nota da arguição optativa substitui a menor nota das arguições precedentes, determine:
a) Média de cada estudante;
b) Para cada arguição: média, moda, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação;
c) Liste as arguições em ordem crescente de homogeneidade.

Passo 1

O enunciado dá as notas de quatro arguições com pesos \;w_1=2, w_2=4, w_3=4, w_4=2 e uma prova optativa que, se for maior que a menor das quatro arguições de um aluno, a substitui. A média ponderada final de cada estudante é
\bar x = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + w_4 x_4}{w_1 + w_2 + w_3 + w_4} = \frac{2x_1 + 4x_2 + 4x_3 + 2x_4}{12}.
Depois de aplicar a substituição (quando existe), teremos quatro colunas de notas finais para calcular estatísticas descritivas em cada arguição.

Passo 2

Aplicamos a substituição da optativa em cada estudante e calculamos a média ponderada:
1. Notas originais (2,5;4,5;5,0;6,0), optativa 7,0. A menor é 2,5, substitui por 7,0. \bar x_1 = \tfrac{2\cdot7 +4\cdot4,5 +4\cdot5 +2\cdot6}{12} = \tfrac{64}{12} =5,33.
2. (2,0;8,5;7,0;3,0), optativa 5,0. Substitui 2,0 por 5,0. \bar x_2 = \tfrac{78}{12} =6,50.
3. (8,5;10,0;9,0;8,5), sem optativa. \bar x_3 = \tfrac{110}{12} =9,17.
4. (3,5;5,5;8,5;7,5), optativa 6,5. Substitui 3,5. \bar x_4 = \tfrac{84}{12} =7,00.
5. (3,0;5,0;6,0;4,5), optativa 5,0. Substitui 3,0. \bar x_5 = \tfrac{63}{12} =5,25.
6. (6,0;3,0;4,0;5,0), optativa 2,0 menor, sem substituição. \bar x_6 = \tfrac{50}{12} =4,17.
7. (8,0;1,5;2,0;9,0), optativa 5,0. Substitui 1,5. \bar x_7 = \tfrac{62}{12} =5,17.
8. (1,5;2,0;1,0;2,5), sem optativa. \bar x_8 = \tfrac{20}{12} =1,67.
9. (7,5;8,0;8,5;10,0), sem optativa. \bar x_9 = \tfrac{101}{12} =8,42.
10. (5,5;4,5;5,0;4,5), optativa 2,5 menor, sem substituição. \bar x_{10} = \tfrac{58}{12} =4,83.

Passo 3

As notas finais por arguição são:
\begin{aligned} \text{Arg}_1 &: (7{,}0,\;5{,}0,\;8{,}5,\;6{,}5,\;5{,}0,\;6{,}0,\;8{,}0,\;1{,}5,\;7{,}5,\;5{,}5),\\\ \text{Arg}_2 &: (4{,}5,\;8{,}5,\;10{,}0,\;5{,}5,\;5{,}0,\;3{,}0,\;5{,}0,\;2{,}0,\;8{,}0,\;4{,}5),\\\ \text{Arg}_3 &: (5{,}0,\;7{,}0,\;9{,}0,\;8{,}5,\;6{,}0,\;4{,}0,\;2{,}0,\;1{,}0,\;8{,}5,\;5{,}0),\\\ \text{Arg}_4 &: (6{,}0,\;3{,}0,\;8{,}5,\;7{,}5,\;4{,}5,\;5{,}0,\;9{,}0,\;2{,}5,\;10{,}0,\;4{,}5). \end{aligned}

Passo 4

Para cada conjunto calculamos:
Arguição 1
média \mu_1 =6{,}05
moda =5{,}0
mediana =(6{,}0+6{,}5)/2=6{,}25
desvio padrão \sigma_1 =\sqrt{\frac1{10}\sum (x_i-\mu_1)^2}=1{,}90
coeficiente de variação CV_1 =\frac{\sigma_1}{\mu_1}\times100\%=31{,}47\%
Arguição 2
média \mu_2 =5{,}60
moda =4{,}5 e 5{,}0 (bimodal)
mediana =5{,}0
desvio padrão \sigma_2 =2{,}38
coeficiente de variação CV_2 =42{,}41\%
Arguição 3
média \mu_3 =5{,}60
moda =5{,}0 e 8{,}5
mediana =5{,}5
desvio padrão \sigma_3 =2{,}61
coeficiente de variação CV_3 =46{,}53\%
Arguição 4
média \mu_4 =6{,}05
moda =4{,}5
mediana =5{,}5
desvio padrão \sigma_4 =2{,}45
coeficiente de variação CV_4 =40{,}57\%

Passo 5

Menor CV = maior homogeneidade. Ordenando em crescimento de homogeneidade (menos homogênea → mais homogênea):
\text{Arg}_3\;(CV=46{,}53\%),\; \text{Arg}_2\;(42{,}41\%),\; \text{Arg}_4\;(40{,}57\%),\; \text{Arg}_1\;(31{,}47\%).

Resposta

a) Médias dos estudantes:
1: 5{,}33
2: 6{,}50
3: 9{,}17
4: 7{,}00
5: 5{,}25
6: 4{,}17
7: 5{,}17
8: 1{,}67
9: 8{,}42
10: 4{,}83 b)
Arguição 1: \mu=6{,}05, moda 5{,}0, mediana 6{,}25, \sigma=1{,}90, CV=31{,}47\%
Arguição 2: \mu=5{,}60, moda 4{,}5 e 5{,}0, mediana 5{,}0, \sigma=2{,}38, CV=42{,}41\%
Arguição 3: \mu=5{,}60, moda 5{,}0 e 8{,}5, mediana 5{,}5, \sigma=2{,}61, CV=46{,}53\%
Arguição 4: \mu=6{,}05, moda 4{,}5, mediana 5{,}5, \sigma=2{,}45, CV=40{,}57\% c) Em ordem crescente de homogeneidade: Arguição 3, Arguição 2, Arguição 4, Arguição 1.

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