A média de chamadas telefônicas numa hora é igual a 3. Qual a probabilidade de:
a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora?
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chegadas de chamadas telefônicas em que o número de chamadas numa hora segue uma distribuição de Poisson com média igual a 3. Vamos usar as propriedades da distribuição de Poisson para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Se X é o número de chamadas em uma hora, temos
X \sim \text{Poisson}(\lambda=3).
Para um intervalo de 90 minutos (1,5 horas), o parâmetro de Poisson escala proporcionalmente ao tempo, isto é, se Y é o número de chamadas em 90 min, então
Y \sim \text{Poisson}(\lambda' = 3 \times 1{,}5 = 4{,}5).

Passo 3

Para receber exatamente 3 chamadas em uma hora, calculamos
P(X=3) = \frac{e^{-3}\,3^3}{3!}.
Note que 3! = 6, portanto
P(X=3) = e^{-3}\,\frac{27}{6} = \frac{9}{2}\,e^{-3}\approx 0{,}2240.

Passo 4

Para receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos, usamos
P(Y \ge 4) = 1 - P(Y \le 3) = 1 - \sum_{k=0}^{3} \frac{e^{-4.5}\,(4.5)^k}{k!}.
Calculando o somatório
\sum_{k=0}^{3} \frac{(4.5)^k}{k!} = 1 + 4.5 + \frac{4.5^2}{2!} + \frac{4.5^3}{3!} = 1 + 4.5 + 10{,}125 + 15{,}1875 = 30{,}8125,
e usando e^{-4.5}\approx 0{,}011109, obtemos
P(Y \ge 4) = 1 - 0{,}011109 \times 30{,}8125 \approx 1 - 0{,}3423 = 0{,}6577.

Resposta

a) \displaystyle P(X=3)=\frac{e^{-3}3^3}{3!}\approx 0{,}2240
b) \displaystyle P(Y\ge4)=1-\sum_{k=0}^3\frac{e^{-4.5}(4.5)^k}{k!}\approx 0{,}6577

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