Suponha que (X, Y) é vetor aleatório com distribuição normal bivariada, tendo matriz de covariância
\left[\begin{array}{ll} 4 & a \\\ a & 1 \end{array}\right]
(a) Quais são os valores possíveis para a ?
(b) Verifique se existe algum valor de a para o qual X+Y é independente de X-Y . \nexists
(c) Se \mathrm{E}[Y \mid X]=\alpha X+\beta, quais são os valores possíveis de \alpha ? -\frac{1}{2}<\alpha<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) tem distribuição normal bivariada com matriz de covariância
\Sigma=\begin{pmatrix}4 & a\\\ a & 1\end{pmatrix}.
Precisamos então:
– (a) achar os valores admissíveis de a para que \Sigma seja válida;
– (b) verificar se existe algum a que torne X+Y independente de X-Y;
– (c) sabendo que
\mathrm{E}[Y\mid X]=\alpha X+\beta,
determinar os possíveis valores de \alpha.

Passo 2

Para que \Sigma seja uma matriz de covariância válida (semidefinida positiva), é preciso que seu determinante seja não negativo. Calculamos
\det\Sigma = 4\cdot1 - a^2 = 4 - a^2 \ge 0
logo
a^2 \le 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le a \le 2.
Se quisermos ainda que a distribuição seja não degenerada (covariância estritamente definida positiva), adotamos a^2<4, i.e.\ -2<a<2.

Passo 3

Num vetor normal bivariado, duas combinações lineares são independentes se e só se forem não correlacionadas. Calculemos
\operatorname{Cov}(X+Y,\;X-Y) =\operatorname{Cov}(X,X)-\operatorname{Cov}(X,Y)+\operatorname{Cov}(Y,X)-\operatorname{Cov}(Y,Y).
Como \operatorname{Cov}(X,X)=4, \operatorname{Cov}(Y,Y)=1 e \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)=a, segue
\operatorname{Cov}(X+Y,X-Y)=4 - a + a - 1 = 3.
Este valor não depende de a e nunca é zero, logo não existe a que torne X+Y independente de X-Y.

Passo 4

Para uma normal bivariada, a regressão linear é dada por
\mathrm{E}[Y\mid X] =\mu_Y + \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)}\,(X-\mu_X).
Comparando com \alpha X+\beta, vemos que
\alpha = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)} =\frac{a}{4}.
Como de (a) temos -2<a<2, obtemos
-\tfrac12 < \alpha < \tfrac12.

Resposta

(a) -2<a<2.
(b) Não existe valor de a.
(c) -\tfrac12<\alpha<\tfrac12.

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