Suponha que
é vetor aleatório com distribuição normal bivariada, tendo matriz de covariância
(a) Quais são os valores possíveis para
?
(b) Verifique se existe algum valor de a para o qual
é independente de
(c) Se
, quais são os valores possíveis de
?
(b) Verifique se existe algum valor de a para o qual
(c) Se
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição normal bivariada com matriz de covariância
Precisamos então:
– (a) achar os valores admissíveis de para que
seja válida;
– (b) verificar se existe algum que torne
independente de
;
– (c) sabendo que
– (a) achar os valores admissíveis de
– (b) verificar se existe algum
– (c) sabendo que
determinar os possíveis valores de
.
Passo 2
Para que
seja uma matriz de covariância válida (semidefinida positiva), é preciso que seu determinante seja não negativo. Calculamos
logo
Se quisermos ainda que a distribuição seja não degenerada (covariância estritamente definida positiva), adotamos
, i.e.\
.
Passo 3
Num vetor normal bivariado, duas combinações lineares são independentes se e só se forem não correlacionadas. Calculemos
Como
,
e
, segue
Este valor não depende de
e nunca é zero, logo não existe
que torne
independente de
.
Passo 4
Para uma normal bivariada, a regressão linear é dada por
Comparando com
, vemos que
Como de (a) temos
, obtemos
Resposta
(a)
.
(b) Não existe valor de .
(c) .
(b) Não existe valor de
(c)