Exercício 7. Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno:
a) acertar os 5 testes?
b) acertar apenas 4 testes?
c) acertar apenas 3 testes?
d) acertar apenas 2 testes?
e) acertar apenas 1 teste?
f) errar todos os testes propostos?
g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno?
[Ex. 7 de: https://www.professorguru.com.br/estatistica/distribuicao-binomial.html ]

Passo 1

O enunciado descreve uma prova com n=5 testes de múltipla escolha, cada um com 4 alternativas e apenas 1 correta. Como o aluno “chuta” sem saber nada, a probabilidade de acerto em cada teste é p=\tfrac14 e de erro é q=1-p=\tfrac34. Vamos modelar o número de acertos X por uma distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=5,\;p=\tfrac14\bigr),
cuja função de massa de probabilidade é
P(X=k)=\binom{5}{k}\bigl(\tfrac14\bigr)^{k}\bigl(\tfrac34\bigr)^{5-k},\quad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 3

Calculamos cada probabilidade:
Para k=5:
P(X=5)=\binom{5}{5}\bigl(\tfrac14\bigr)^{5}\bigl(\tfrac34\bigr)^{0} =1\cdot\frac{1}{4^{5}} =\frac{1}{1024}.

Passo 4

Para k=4:
P(X=4)=\binom{5}{4}\bigl(\tfrac14\bigr)^{4}\bigl(\tfrac34\bigr)^{1} =5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4} =\frac{15}{1024}.

Passo 5

Para k=3:
P(X=3)=\binom{5}{3}\bigl(\tfrac14\bigr)^{3}\bigl(\tfrac34\bigr)^{2} =10\cdot\frac{1}{64}\cdot\frac{9}{16} =\frac{90}{1024}.

Passo 6

Para k=2:
P(X=2)=\binom{5}{2}\bigl(\tfrac14\bigr)^{2}\bigl(\tfrac34\bigr)^{3} =10\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{27}{64} =\frac{270}{1024}.

Passo 7

Para k=1:
P(X=1)=\binom{5}{1}\bigl(\tfrac14\bigr)^{1}\bigl(\tfrac34\bigr)^{4} =5\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{81}{256} =\frac{405}{1024}.

Passo 8

Para k=0:
P(X=0)=\binom{5}{0}\bigl(\tfrac14\bigr)^{0}\bigl(\tfrac34\bigr)^{5} =1\cdot1\cdot\frac{243}{1024} =\frac{243}{1024}.

Passo 9

O resultado mais provável é o k que maximiza P(X=k). Comparando os numeradores \{1,15,90,270,405,243\}, o maior é 405, correspondente a k=1.

Resposta

a) \displaystyle P(\text{acertar 5})=P(X=5)=\frac{1}{1024}.
b) \displaystyle P(\text{acertar 4})=P(X=4)=\frac{15}{1024}.
c) \displaystyle P(\text{acertar 3})=P(X=3)=\frac{90}{1024}.
d) \displaystyle P(\text{acertar 2})=P(X=2)=\frac{270}{1024}.
e) \displaystyle P(\text{acertar 1})=P(X=1)=\frac{405}{1024}.
f) \displaystyle P(\text{acertar 0})=P(X=0)=\frac{243}{1024}.
g) O resultado mais provável é acertar apenas 1 teste.

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