8 - A média geométrica entre três números inteiros positivos é igual a sua média aritmética. Se o produto entre eles é igual a 729 , então sua soma é igual:
Passo 1
O enunciado dá três números inteiros positivos
tais que a média geométrica deles é igual à média aritmética, e o produto
. O conteúdo é proporções e médias (aritmética e geométrica), e vamos usar a propriedade de que
só ocorre quando todos os termos são iguais.
Passo 2
A média geométrica dos três números é
e a média aritmética é
Como são iguais, vale
Passo 3
Pela desigualdade entre médias (ou pela condição de igualdade na AM–GM), sabemos que
se e somente se
. Logo
Passo 4
Como
, substituindo
dá
Então
.
Passo 5
A soma dos três números é
Resposta
27