8 - A média geométrica entre três números inteiros positivos é igual a sua média aritmética. Se o produto entre eles é igual a 729 , então sua soma é igual:

Passo 1

O enunciado dá três números inteiros positivos a,b,c tais que a média geométrica deles é igual à média aritmética, e o produto abc=729. O conteúdo é proporções e médias (aritmética e geométrica), e vamos usar a propriedade de que GM=AM só ocorre quando todos os termos são iguais.

Passo 2

A média geométrica dos três números é
raiz[3]abc
e a média aritmética é
a+b+c3
Como são iguais, vale
raiz[3]abc = a+b+c3

Passo 3

Pela desigualdade entre médias (ou pela condição de igualdade na AM–GM), sabemos que GM=AM se e somente se a=b=c. Logo
a=b=c

Passo 4

Como abc=729, substituindo a=b=c
a^3 = 729 Longrightarrow a = raiz[3]729 = 9
Então a=b=c=9.

Passo 5

A soma dos três números é
a+b+c = 9+9+9 = 27

Resposta

27

Exercícios relacionados