A média de nossas medições foi de 1.7 m e a variância foi de 0.25 \mathrm{~m}^{2}, mas descobrimos que nosso instrumento de medição estava com defeito, marcando sempre 25 cm acima do valor real. Será que podemos corrigir o erro ou devemos repetir todas as medições?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Informações dadas:
A média das medições foi 1,7 m.
A variância das medições foi 0,25\\ \mathrm{m}^2.
Descobrimos que o instrumento marcava sempre 25 cm acima do valor real, ou seja, um excesso constante de 0,25 m.
Pergunta do enunciado:
Podemos corrigir esse erro sem repetir todas as medições, ou devemos repetir tudo?
Passo 2
Modelagem clara do problema (o que significa “marcar sempre 0,25 m acima”).
Vamos chamar de X_i o valor verdadeiro da i-ésima medição (o que realmente queríamos medir).
Vamos chamar de Y_i o valor que o instrumento registrou (o que obtivemos).
Como o instrumento acrescenta sempre 0,25 m, temos a relação simples:
Y_i = X_i + 0,25
para todo i. Essa é a hipótese que o enunciado descreve: um viés (bias) aditivo e constante.
Passo 3
O que acontece com a média quando somamos uma constante a todas as observações.
Como existem n termos iguais a 0,25, temos \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 0,25 = 0,25. Logo
\overline{Y} = \overline{X} + 0,25.
Interpretação prática: a média aumenta exatamente em 0,25 m quando cada medida é deslocada por +0,25 m. Portanto, para recuperar a média verdadeira basta subtrair 0,25 m da média observada:
\overline{X} = \overline{Y} - 0,25.
Passo 4
O que acontece com a variância quando somamos uma constante a todas as observações.
A definição (amostral ou populacional, a propriedade vale para ambas) de variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média:
Conclusão: somar (ou subtrair) uma constante a todas as observações NÃO muda a variância nem o desvio padrão; apenas desloca a média. Intuitivamente: deslocamos todo o histograma para a direita, mas a largura (dispersão) permanece a mesma.
Passo 5
Aplicando as fórmulas aos números do enunciado.
A média registrada é \overline{Y}=1,7 m. Como o viés é 0,25 m, a média verdadeira é
A variância registrada é 0,25\\ \mathrm{m}^2. Pela propriedade do passo anterior, a variância verdadeira é a mesma:
\operatorname{Var}(X)=0,25\\ \mathrm{m}^2.
Para referência, o desvio padrão é \sqrt{0,25}=0,5 m.
Passo 6
Como corrigir na prática — procedimento simples que você faria na prova ou no laboratório.
Se você tiver todas as medidas Y_i registradas, basta substituir cada medida por Y_i - 0,25. Isso corrige cada valor para o valor verdadeiro X_i.
Se só tiver a média e a variância, você já pode corrigir a média usando \overline{X}=\overline{Y}-0,25 e manter a variância como está.
Não é necessário refazer as medições se o erro for realmente esse deslocamento constante e se o valor 0,25 for conhecido com confiança.
Passo 7
Caveats importantes (quando talvez você precise repetir medições).
A correção acima é válida apenas se:
O erro for exatamente constante para todas as medições (mesmo deslocamento de 0,25 m), e
O valor 0,25 m for conhecido com confiança (ou seja, o defeito foi medido/estabelecido com precisão).
Se o erro variar (por exemplo, às vezes adiciona 0,25 m, às vezes outro valor) ou se houver outros problemas no instrumento (não é só um deslocamento, mas também não linearidade, ruído adicional, etc.), então a correção simples pode ser inadequada e pode ser necessário repetir as medições com um instrumento calibrado.
Passo 8
Exemplo numérico curtinho para fixar a intuição.
Suponha que você tenha duas medições registradas Y_1=2,0 m e Y_2=1,4 m. Média \overline{Y}=(2,0+1,4)/2=1,7 m.
Subtraindo 0,25 m de cada: X_1=1,75, X_2=1,15. Média \overline{X}=(1,75+1,15)/2=1,45 m; variância calculada antes e depois será a mesma. Isso mostra na prática que só deslocamos os pontos, sem alterar a dispersão.
Resposta
Podemos corrigir: subtraia 0,25 m de cada medição registrada.
Nova média corrigida: 1,45\\ \text{m}.
Variância corrigida: 0,25\\ \mathrm{m}^2 (permanece a mesma).
Observação: só não repita as medições se o erro for realmente constante e conhecido; caso contrário, repita com instrumento calibrado.