A média de nossas medições foi de 1.7 m e a variância foi de 0.25 \mathrm{~m}^{2}, mas descobrimos que nosso instrumento de medição estava com defeito, marcando sempre 25 cm acima do valor real. Será que podemos corrigir o erro ou devemos repetir todas as medições?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informações dadas:
    • A média das medições foi 1,7 m.
    • A variância das medições foi 0,25\\ \mathrm{m}^2.
    • Descobrimos que o instrumento marcava sempre 25 cm acima do valor real, ou seja, um excesso constante de 0,25 m.
  • Pergunta do enunciado:
    • Podemos corrigir esse erro sem repetir todas as medições, ou devemos repetir tudo?

Passo 2

Modelagem clara do problema (o que significa “marcar sempre 0,25 m acima”).
  • Vamos chamar de X_i o valor verdadeiro da i-ésima medição (o que realmente queríamos medir).
  • Vamos chamar de Y_i o valor que o instrumento registrou (o que obtivemos).
  • Como o instrumento acrescenta sempre 0,25 m, temos a relação simples:
Y_i = X_i + 0,25
para todo i. Essa é a hipótese que o enunciado descreve: um viés (bias) aditivo e constante.

Passo 3

O que acontece com a média quando somamos uma constante a todas as observações.
  • A média amostral das medidas registradas é
\overline{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
  • Substituindo Y_i = X_i + 0,25,
\overline{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i + 0,25) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 0,25.
  • Como existem n termos iguais a 0,25, temos \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 0,25 = 0,25. Logo
\overline{Y} = \overline{X} + 0,25.
  • Interpretação prática: a média aumenta exatamente em 0,25 m quando cada medida é deslocada por +0,25 m. Portanto, para recuperar a média verdadeira basta subtrair 0,25 m da média observada:
\overline{X} = \overline{Y} - 0,25.

Passo 4

O que acontece com a variância quando somamos uma constante a todas as observações.
  • A definição (amostral ou populacional, a propriedade vale para ambas) de variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média:
s_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \overline{Y})^2.
  • Substituindo Y_i = X_i + 0,25 e \overline{Y} = \overline{X} + 0,25,
Y_i - \overline{Y} = (X_i + 0,25) - (\overline{X} + 0,25) = X_i - \overline{X}.
  • Portanto,
s_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = s_X^2.
  • Conclusão: somar (ou subtrair) uma constante a todas as observações NÃO muda a variância nem o desvio padrão; apenas desloca a média. Intuitivamente: deslocamos todo o histograma para a direita, mas a largura (dispersão) permanece a mesma.

Passo 5

Aplicando as fórmulas aos números do enunciado.
  • A média registrada é \overline{Y}=1,7 m. Como o viés é 0,25 m, a média verdadeira é
\overline{X} = \overline{Y} - 0,25 = 1,7 - 0,25 = 1,45\\ \text{m}.
  • A variância registrada é 0,25\\ \mathrm{m}^2. Pela propriedade do passo anterior, a variância verdadeira é a mesma:
\operatorname{Var}(X)=0,25\\ \mathrm{m}^2.
  • Para referência, o desvio padrão é \sqrt{0,25}=0,5 m.

Passo 6

Como corrigir na prática — procedimento simples que você faria na prova ou no laboratório.
  • Se você tiver todas as medidas Y_i registradas, basta substituir cada medida por Y_i - 0,25. Isso corrige cada valor para o valor verdadeiro X_i.
  • Se só tiver a média e a variância, você já pode corrigir a média usando \overline{X}=\overline{Y}-0,25 e manter a variância como está.
  • Não é necessário refazer as medições se o erro for realmente esse deslocamento constante e se o valor 0,25 for conhecido com confiança.

Passo 7

Caveats importantes (quando talvez você precise repetir medições).
  • A correção acima é válida apenas se:
    • O erro for exatamente constante para todas as medições (mesmo deslocamento de 0,25 m), e
    • O valor 0,25 m for conhecido com confiança (ou seja, o defeito foi medido/estabelecido com precisão).
  • Se o erro variar (por exemplo, às vezes adiciona 0,25 m, às vezes outro valor) ou se houver outros problemas no instrumento (não é só um deslocamento, mas também não linearidade, ruído adicional, etc.), então a correção simples pode ser inadequada e pode ser necessário repetir as medições com um instrumento calibrado.

Passo 8

Exemplo numérico curtinho para fixar a intuição.
  • Suponha que você tenha duas medições registradas Y_1=2,0 m e Y_2=1,4 m. Média \overline{Y}=(2,0+1,4)/2=1,7 m.
  • Subtraindo 0,25 m de cada: X_1=1,75, X_2=1,15. Média \overline{X}=(1,75+1,15)/2=1,45 m; variância calculada antes e depois será a mesma. Isso mostra na prática que só deslocamos os pontos, sem alterar a dispersão.

Resposta

Podemos corrigir: subtraia 0,25 m de cada medição registrada.
Nova média corrigida: 1,45\\ \text{m}.
Variância corrigida: 0,25\\ \mathrm{m}^2 (permanece a mesma).
Observação: só não repita as medições se o erro for realmente constante e conhecido; caso contrário, repita com instrumento calibrado.

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