A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência da massa corporal de um grupo de pessoas. Podemos ter certeza que a massa corporal média desse grupo é superior a 70 kg ? Justifique sua resposta.
Massa Corporal (kg) Frequências
40 \leq < 50 5
50 \leq < 60 15
60 \leq < 70 25
70 \leq < 80 30
80 \leq < 90 20
90 \leq < 100 5
Total 100
Instruções: 1. Calcule a média ponderada da massa corporal utilizando os valores médios de cada classe. 2 . Compare o valor encontrado com o limite superior de 70 kg e justifique sua resposta.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a média ponderada da massa corporal utilizando os valores médios de cada classe.
  • Comparar o valor encontrado com o limite de 70 kg e justificar se podemos ter certeza de que a média real do grupo é superior a 70 kg.
Informações dadas (da tabela):
\begin{array}{ll} \text{Classe} & \text{Frequência }(f)\\\\ 40\leq x<50 & 5\\\\ 50\leq x<60 & 15\\\\ 60\leq x<70 & 25\\\\ 70\leq x<80 & 30\\\\ 80\leq x<90 & 20\\\\ 90\leq x<100 & 5\\\ \text{Total} & 100 \end{array}ê

Passo 2

O que é o “valor médio da classe” e como usá-lo:
  • Para dados agrupados em classes, aproximamos cada observação de uma classe pelo ponto médio (valor médio) da classe. O ponto médio é a média entre o limite inferior e o limite superior da classe.
  • Se a classe é [a,b), o ponto médio é \dfrac{a+b}{2}.
Calculemos os pontos médios de cada classe:
\begin{aligned} \text{Classe }[40,50): &\quad x_1=\frac{40+50}{2}=45,\\\ \text{Classe }[50,60): &\quad x_2=\frac{50+60}{2}=55,\\\ \text{Classe }[60,70): &\quad x_3=\frac{60+70}{2}=65,\\\ \text{Classe }[70,80): &\quad x_4=\frac{70+80}{2}=75,\\\ \text{Classe }[80,90): &\quad x_5=\frac{80+90}{2}=85,\\\ \text{Classe }[90,100): &\quad x_6=\frac{90+100}{2}=95. \end{aligned}

Passo 3

Fórmula da média ponderada (estimada para dados agrupados):
  • Denotando por x_i o ponto médio da i-ésima classe e por f_i a frequência da i-ésima classe, a média estimada é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_i f_i}.
  • Aqui \sum_i f_i=100.
Calculemos cada produto f_i x_i e a soma:
\begin{aligned} 5\cdot 45 &=225,\\\\ 15\cdot 55 &=825,\\\\ 25\cdot 65 &=1625,\\\\ 30\cdot 75 &=2250,\\\\ 20\cdot 85 &=1700,\\\\ 5\cdot 95 &=475. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i =225+825+1625+2250+1700+475=7100.
Portanto a média estimada é
\bar{x}=\frac{7100}{100}=71\\ \text{kg}.

Passo 4

Interpretação imediata: a estimativa pela média de classes dá \bar{x}=71 kg, que é maior que 70 kg. Mas atenção: essa é uma estimativa que assume todos os valores de cada classe concentrados no ponto médio. Como os dados estão agrupados em intervalos, a média real (usando os valores exatos não agrupados) pode ser diferente.

Passo 5

Método para verificar se podemos ter CERTEZA (ou seja, independência da distribuição interna das classes):
  • Podemos calcular limites extremos possíveis para a média real colocando os valores de cada classe nos extremos dos intervalos.
  • O menor valor possível da média (mínimo) ocorre se, dentro de cada classe, todos os indivíduos estiverem no limite inferior da classe.
  • O maior valor possível da média ocorre se, dentro de cada classe, todos os indivíduos estiverem no limite superior da classe.
Calculemos o menor possível (usando limites inferiores 40,50,60,70,80,90):
\begin{aligned} \sum f_i\cdot (\text{limite inferior}) &=5\cdot 40 +15\cdot 50 +25\cdot 60 +30\cdot 70 +20\cdot 80 +5\cdot 90\\\ &=200+750+1500+2100+1600+450=6600. \end{aligned}
\text{Média mínima}=\frac{6600}{100}=66\\ \text{kg}.éí
Calculemos o maior possível (usando limites superiores 50,60,70,80,90,100):
\begin{aligned} \sum f_i\cdot (\text{limite superior}) &=5\cdot 50 +15\cdot 60 +25\cdot 70 +30\cdot 80 +20\cdot 90 +5\cdot 100\\\ &=250+900+1750+2400+1800+500=7600. \end{aligned}
\text{Média máxima}=\frac{7600}{100}=76\\ \text{kg}.éá

Passo 6

Conclusão lógica baseada nos limites:
  • A média real pode estar em qualquer ponto do intervalo [66,\;76] dado apenas o agrupamento e as frequências.
  • Como 70 está dentro desse intervalo e existe uma configuração (por exemplo, colocando muitos valores nos limites inferiores das classes acima de 70) que leva a uma média menor ou igual a 70, não podemos afirmar com certeza que a média real seja superior a 70 kg.
  • Em outras palavras: a estimativa pela média de classes é \bar{x}=71 kg (bom indicativo), mas não garante que a média verdadeira exceda 70 kg devido à incerteza interna das classes.

Resposta

Média estimada pela média de classes: \bar{x}=71\\ \text{kg}.
Não — não podemos ter certeza de que a média real seja superior a 70 kg, pois a média verdadeira pode variar entre 66\\ \text{kg} e 76\\ \text{kg} dadas apenas as classes e frequências.

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