A média quadrática é utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral médias quadráticas. Obtém-se a média quadrática de um conjunto de valores elevando-se cada um ao quadrado, somando-se os resultados, dividindo-se o total pelo número n de valores e tomando-se a raiz quadrada do resultado. Por exemplo, a média quadrática de 2,4,10 é
\sqrt{\frac{\Sigma x^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{4+16+100}{3}}=\sqrt{\frac{120}{3}}=\sqrt{40}=6.3. Calcule a média quadrática dos seguintes pulsos: 151,162,0,81,-68.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média quadrática dos pulsos dados. Os valores fornecidos são \,151, \,162, \,0, \,81 e \,-68. O número de valores (o tamanho do conjunto) é \,n=5. A tarefa é aplicar a definição de média quadrática a esses cinco números e obter o resultado final numérico.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula da média quadrática e explicar cada símbolo para ficar tudo claro. A média quadrática de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\text{média quadrática}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}{n}}.éá
Explicação das letras:
  • \,x_i representa o i-ésimo valor do conjunto (cada pulso).
  • \,x_i^{2} é o quadrado desse valor (multiplicamos o número por ele mesmo).
  • \sum_{i=1}^{n} x_i^{2} significa somar todos os quadrados dos valores.
  • \,n é a quantidade total de valores (aqui \,n=5).
    A razão de elevar ao quadrado antes de somar é que o quadrado elimina o sinal (números negativos viram positivos) e dá mais peso a valores grandes; depois tiramos a raiz quadrada para voltar à mesma escala dos valores originais.

Passo 3

Calcular o quadrado de cada pulso (aqui mostro o cálculo e por que o negativo vira positivo):
151^{2}=22801,
162^{2}=26244,
0^{2}=0,
81^{2}=6561,
(-68)^{2}=4624.
Observação didática: (-68)^{2} é positivo porque -68\times -68=+4624. Sempre escreva o sinal negativo entre parênteses ao elevar ao quadrado para evitar confusão.

Passo 4

Somar todos os quadrados. Posso somar em partes para evitar erro:
22801+26244=49045,
6561+4624=11185,
então
49045+11185+0=60230.
Logo,
\sum_{i=1}^{5} x_i^{2}=60230.

Passo 5

Fazer a média dos quadrados dividindo pelo número de valores \,n=5:
\frac{60230}{5}=12046.
Isto é a média dos quadrados; ainda falta tirar a raiz quadrada para obter a média quadrática.

Passo 6

Tomar a raiz quadrada do resultado:
\sqrt{12046}.
Para ter uma aproximação prática no teste sem calculadora, podemos observar que 110^{2}=12100, que é um pouco maior que 12046. Usando uma correção linear rápida:
110-\frac{12100-12046}{2\cdot 110}\approx 110-\frac{54}{220}\approx 110-0{,}245\approx 109{,}755.
Arredondando de forma conveniente para duas casas decimais, obtemos
\sqrt{12046}\approx 109{,}75.
Assim a média quadrática dos pulsos é aproximadamente \,109{,}75.

Resposta

\,109{,}75

Exercícios relacionados