A média harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número de valores por soma dos recíprocos de todos os valores. Expressa-se como:
\frac{n}{\sum \frac{1}{x}}
(Nenhum valor pode ser zero.) Por exemplo, a média harmônica de 2, 4, 10 é
\frac{n}{\sum \frac{1}{x}}=\frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}}=\frac{3}{0,85}=3.5
Quatro estudantes dirigem de Nova York à Flórida (1200 milhas) a uma velocidade de 40 \mathrm{mi} / \mathrm{h} (sim, é verdade!) e voltam à velocidade de 60 mi/h. Qual é sua velocidade média para a viagem inteira? (Não calcule a média das velocidades.)

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a velocidade média dos estudantes para a viagem inteira (ida + volta). As informações relevantes que o problema dá são:
A distância de ida é \,1200\\ \mathrm{mi}.
A velocidade na ida é \,40\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}.
A velocidade na volta é \,60\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}.
Queremos a velocidade média para toda a viagem (ida + volta). O enunciado também alerta: não calcule a média simples (aritmética) das velocidades.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o conceito que precisamos usar: velocidade média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
\text{velocidade média}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
Aqui cada variável significa: distância total é a soma das distâncias das etapas; tempo total é a soma dos tempos de cada etapa; e cada tempo de etapa é dado por tempo =\dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}}â (pois velocidade = distância/tempo).

Passo 3

Definimos variáveis para organizar: seja \,D a distância de uma perna (ida ou volta). Então \,D=1200\\ \mathrm{mi}. Seja \,v_1 a velocidade na ida e \,v_2 a velocidade na volta. Portanto \,v_1=40\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h} e \,v_2=60\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}. O total de distância percorrida é \,2D. O tempo gasto na ida é \,t_1=\dfrac{D}{v_1} e o tempo na volta é \,t_2=\dfrac{D}{v_2}. O tempo total é
t_{\text{total}}=t_1+t_2=\frac{D}{v_1}+\frac{D}{v_2}=D\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right).

Passo 4

Usando a definição de velocidade média:
v_{\text{média}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}=\frac{2D}{D\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right)}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}.éâ
Esta fórmula é a média harmônica de \,v_1 e \,v_2 quando as duas velocidades se aplicam a distâncias iguais. (Breve aula: a média harmônica de dois números \,a e \,b é \dfrac{2}{1/a+1/b}; ela aparece sempre que se quer média de taxas para trechos de igual dimensão.)

Passo 5

Agora aplicamos os números. Primeiro calculamos a soma dos recíprocos:
\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}=\frac{1}{40}+\frac{1}{60}.
Colocando em denominador comum 120:
\frac{1}{40}=\frac{3}{120},\qquad \frac{1}{60}=\frac{2}{120},
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\frac{1}{40}+\frac{1}{60}=\frac{3}{120}+\frac{2}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}.

Passo 6

Substituindo na fórmula da média harmônica:
v_{\text{média}}=\frac{2}{\frac{1}{24}}=2\cdot 24=48\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}.é
Como verificação alternativa (mesma conta, por outro caminho): tempo ida \,t_1=\dfrac{1200}{40}=30\\ \mathrm{h}, tempo volta \,t_2=\dfrac{1200}{60}=20\\ \mathrm{h}, tempo total =50\\ \mathrm{h}, distância total =2400\\ \mathrm{mi}, então velocidade média =2400/50=48\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}.

Passo 7

Comentário final e incentivo rápido: notar que a média aritmética \dfrac{40+60}{2}=50\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h} seria errada aqui porque dá o mesmo peso às velocidades, não ao tempo gasto. Quando as etapas têm a mesma distância, a média apropriada para taxas é a média harmônica — por isso o resultado ficou \,48\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}. Você conseguiu! Isso é um padrão que aparece sempre em viagens desse tipo.

Resposta

48\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h}

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