A média harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número de valores por soma dos recíprocos de todos os valores. Expressa-se como:
(Nenhum valor pode ser zero.) Por exemplo, a média harmônica de 2, 4, 10 é
Quatro estudantes dirigem de Nova York à Flórida (1200 milhas) a uma velocidade de
(sim, é verdade!) e voltam à velocidade de 60 mi/h. Qual é sua velocidade média para a viagem inteira? (Não calcule a média das velocidades.)
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a velocidade média dos estudantes para a viagem inteira (ida + volta). As informações relevantes que o problema dá são:
A distância de ida é .
A velocidade na ida é .
A velocidade na volta é .
Queremos a velocidade média para toda a viagem (ida + volta). O enunciado também alerta: não calcule a média simples (aritmética) das velocidades.
A distância de ida é
A velocidade na ida é
A velocidade na volta é
Queremos a velocidade média para toda a viagem (ida + volta). O enunciado também alerta: não calcule a média simples (aritmética) das velocidades.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o conceito que precisamos usar: velocidade média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
Aqui cada variável significa: distância total é a soma das distâncias das etapas; tempo total é a soma dos tempos de cada etapa; e cada tempo de etapa é dado por tempo
(pois velocidade = distância/tempo).
Passo 3
Definimos variáveis para organizar: seja
a distância de uma perna (ida ou volta). Então
. Seja
a velocidade na ida e
a velocidade na volta. Portanto
e
. O total de distância percorrida é
. O tempo gasto na ida é
e o tempo na volta é
. O tempo total é
Passo 4
Usando a definição de velocidade média:
Esta fórmula é a média harmônica de
e
quando as duas velocidades se aplicam a distâncias iguais. (Breve aula: a média harmônica de dois números
e
é
; ela aparece sempre que se quer média de taxas para trechos de igual dimensão.)
Passo 5
Agora aplicamos os números. Primeiro calculamos a soma dos recíprocos:
Colocando em denominador comum
:
logo
Passo 6
Substituindo na fórmula da média harmônica:
Como verificação alternativa (mesma conta, por outro caminho): tempo ida
, tempo volta
, tempo total
, distância total
, então velocidade média
.
Passo 7
Comentário final e incentivo rápido: notar que a média aritmética
seria errada aqui porque dá o mesmo peso às velocidades, não ao tempo gasto. Quando as etapas têm a mesma distância, a média apropriada para taxas é a média harmônica — por isso o resultado ficou
. Você conseguiu! Isso é um padrão que aparece sempre em viagens desse tipo.