A média harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número de valores por soma dos recíprocos de todos os valores. Expressa-se como:
\frac{n}{\sum \frac{1}{x}}
(Nenhum valor pode ser zero.) Por exemplo, a média harmônica de 2, 4, 10 é
\frac{n}{\sum \frac{1}{x}}=\frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}}=\frac{3}{0,85}=3.5
Um despachante da Kramden Bus Company calcula a velocidade média, em mi/h, do percurso de ida e volta de Boston - Providence. Dão-se a seguir os resultados obtidos em 14 viagens diferentes. Com base nesses dados, qual é a velocidade média de um ônibus nesse percurso?
\begin{array}{lllllll}42,6 & 41,3 & 38,2 & 42,9 & 43,4 & 43,7 & 40,8 \\\\ 34,2 & 40,1 & 41,2 & 40,5 & 41,7 & 39,8 & 39,6\end{array}

Passo 1

O enunciado pede: “Com base nos dados de 14 viagens, qual é a velocidade média de um ônibus nesse percurso (ida e volta)?”
As informações que temos são os 14 valores das velocidades, em mi/h, fornecidos pelo despachante:
42,6,\;41,3,\;38,2,\;42,9,\;43,4,\;43,7,\;40,8,\;34,2,\;40,1,\;41,2,\;40,5,\;41,7,\;39,8,\;39,6.
A fórmula que o enunciado dá para a média harmônica é
\frac{n}{\sum \frac{1}{x}}
onde n é o número de observações e nenhum valor x pode ser zero. Aqui n=14. A resposta final pedida é a média harmônica dessas 14 velocidades.

Passo 2

O que é a média harmônica e por que usá-la para velocidades (taxas)?
  • A média harmônica é a média adequada quando os dados representam razões (por exemplo, velocidade = distância / tempo) e queremos uma média que reflita corretamente o tempo total gasto.
  • A fórmula geral é, para n valores x_1,x_2,\dots,x_n,
\text{média harmônica} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}.éô
Aqui cada \frac{1}{x_i} é o recíproco da velocidade x_i. Intuitivamente, somamos os recíprocos porque tempos são proporcionais a 1/velocidade; a média harmônica volta a converter essa soma de tempos média em uma velocidade média.

Passo 3

Vamos calcular os recíprocos de cada velocidade. Vou mostrar cada recíproco com precisão razoável (6 a 9 casas decimais) para evitar erro de arredondamento grosseiro. Os recíprocos foram obtidos diretamente a partir dos valores apresentados no enunciado:
\begin{aligned} \frac{1}{42,6} &\approx 0,023474178,\\\ \frac{1}{41,3} &\approx 0,024213000,\\\ \frac{1}{38,2} &\approx 0,026178010,\\\ \frac{1}{42,9} &\approx 0,023310023,\\\ \frac{1}{43,4} &\approx 0,023041475,\\\ \frac{1}{43,7} &\approx 0,022880789,\\\ \frac{1}{40,8} &\approx 0,024509804,\\\ \frac{1}{34,2} &\approx 0,029239766,\\\ \frac{1}{40,1} &\approx 0,024937655,\\\ \frac{1}{41,2} &\approx 0,024271845,\\\ \frac{1}{40,5} &\approx 0,024691358,\\\ \frac{1}{41,7} &\approx 0,023980583,\\\ \frac{1}{39,8} &\approx 0,025125628,\\\ \frac{1}{39,6} &\approx 0,025252525. \end{aligned}

Passo 4

Agora somamos todos esses recíprocos. Para facilitar e controlar os arredondamentos, somei em três blocos e depois somei os blocos (mostro as somas parciais):
\begin{aligned} \text{Bloco 1 (valores 1 a 5)} &= 0,023474178+0,024213000+0,026178010+0,023310023+0,023041475\\\ &=0,120216686,\\[4pt] \text{Bloco 2 (valores 6 a 10)} &= 0,022880789+0,024509804+0,029239766+0,024937655+0,024271845\\\ &=0,125839859,\\[4pt] \text{Bloco 3 (valores 11 a 14)} &= 0,024691358+0,023980583+0,025125628+0,025252525\\\ &=0,099050094. \end{aligned}
Somando os três blocos:
\sum_{i=1}^{14}\frac{1}{x_i}=0,120216686+0,125839859+0,099050094=0,345106639.]

Passo 5

Aplicamos a fórmula da média harmônica com n=14:
\text{média harmônica}=\frac{14}{0,345106639}.éô
Agora fazemos a divisão. Dividindo com a precisão apropriada:
\frac{14}{0,345106639}\approx 40,56.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: a média aritmética simples das mesmas 14 velocidades é
\frac{570}{14}=40,7142857\ldots
Como esperado, a média harmônica ( 40,56) é ligeiramente menor que a média aritmética ( \approx 40,71), o que faz sentido para taxas (média harmônica costuma ser menor ou igual à média aritmética). O valor calculado está arredondado a duas casas decimais, adequado para relatar velocidades em mi/h.

Resposta

40,56\\ \text{mi/h}

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