A média harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número de valores por soma dos recíprocos de todos os valores. Expressa-se como:
(Nenhum valor pode ser zero.) Por exemplo, a média harmônica de 2, 4, 10 é
Um despachante da Kramden Bus Company calcula a velocidade média, em mi/h, do percurso de ida e volta de Boston - Providence. Dão-se a seguir os resultados obtidos em 14 viagens diferentes. Com base nesses dados, qual é a velocidade média de um ônibus nesse percurso?
Passo 1
O enunciado pede: “Com base nos dados de 14 viagens, qual é a velocidade média de um ônibus nesse percurso (ida e volta)?”
As informações que temos são os valores das velocidades, em mi/h, fornecidos pelo despachante:
As informações que temos são os
A fórmula que o enunciado dá para a média harmônica é
onde
é o número de observações e nenhum valor
pode ser zero. Aqui
. A resposta final pedida é a média harmônica dessas
velocidades.
Passo 2
O que é a média harmônica e por que usá-la para velocidades (taxas)?
- A média harmônica é a média adequada quando os dados representam razões (por exemplo, velocidade = distância / tempo) e queremos uma média que reflita corretamente o tempo total gasto.
- A fórmula geral é, para
valores ,
Aqui cada
é o recíproco da velocidade
. Intuitivamente, somamos os recíprocos porque tempos são proporcionais a
velocidade; a média harmônica volta a converter essa soma de tempos média em uma velocidade média.
Passo 3
Vamos calcular os recíprocos de cada velocidade. Vou mostrar cada recíproco com precisão razoável (6 a 9 casas decimais) para evitar erro de arredondamento grosseiro. Os recíprocos foram obtidos diretamente a partir dos valores apresentados no enunciado:
Passo 4
Agora somamos todos esses recíprocos. Para facilitar e controlar os arredondamentos, somei em três blocos e depois somei os blocos (mostro as somas parciais):
Somando os três blocos:
Passo 5
Aplicamos a fórmula da média harmônica com
:
Agora fazemos a divisão. Dividindo com a precisão apropriada:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: a média aritmética simples das mesmas
velocidades é
Como esperado, a média harmônica (
) é ligeiramente menor que a média aritmética (
), o que faz sentido para taxas (média harmônica costuma ser menor ou igual à média aritmética). O valor calculado está arredondado a duas casas decimais, adequado para relatar velocidades em mi/h.