Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
menos de três pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?
menos de três pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Informação dada: em média,
pessoas por hora usam o caixa automático (ou seja, a média no intervalo de uma hora é ). - Pergunta: qual a probabilidade de que menos de
pessoas usem o serviço durante uma hora? Ou seja, calcular onde é o número de clientes na hora.
Passo 2
Escolha do modelo e fórmula que vamos usar.
Quando estamos contando o número de ocorrências (pessoas chegando ao caixa) em um intervalo de tempo fixo, com uma taxa média conhecida e as chegadas independentes, o modelo adequado é a distribuição de Poisson. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui ), -
é o número de ocorrências (um inteiro ), -
é fatorial (ex.: ), -
é a base do logaritmo natural (aprox. ).
Justificativa curta do uso: temos contagem em intervalo fixo com média conhecida e sem limites óbvios — padrão Poisson.
Passo 3
Expressar
em termos da pmf e calcular simbolicamente.
Menos de
significa
. Então
Aplicando a fórmula de Poisson com
:
Somando:
Passo 4
Avaliar numericamente
.
Uma forma prática de obter
sem calculadora é lembrar
e elevar a potência:
.
-
. -
. -
(porque ). -
.
Portanto
Em porcentagem isso é cerca de
.
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova.
A resposta exata é
. Numericamente, a probabilidade de que menos de
pessoas usem o caixa em uma hora é aproximadamente
, ou cerca de
.
Dica: em provas, se pedirem uma resposta exata e não derem calculadora, deixar como
está perfeito; se pedirem aproximação, use a sequência de potências de
como fiz para obter
.