Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
menos de três pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Informação dada: em média, 6 pessoas por hora usam o caixa automático (ou seja, a média no intervalo de uma hora é \lambda=6).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que menos de 3 pessoas usem o serviço durante uma hora? Ou seja, calcular P(X<3) onde X é o número de clientes na hora.

Passo 2

Escolha do modelo e fórmula que vamos usar.
Quando estamos contando o número de ocorrências (pessoas chegando ao caixa) em um intervalo de tempo fixo, com uma taxa média conhecida e as chegadas independentes, o modelo adequado é a distribuição de Poisson. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
onde:
  • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=6),
  • k é o número de ocorrências (um inteiro k=0,1,2,\dots),
  • k! é k fatorial (ex.: 2!=2\cdot1=2),
  • e é a base do logaritmo natural (aprox. e\approx2,71828).
Justificativa curta do uso: temos contagem em intervalo fixo com média conhecida e sem limites óbvios — padrão Poisson.

Passo 3

Expressar P(X<3) em termos da pmf e calcular simbolicamente.
Menos de 3 significa k=0,1,2. Então
P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Aplicando a fórmula de Poisson com \lambda=6:
P(X=0)=\frac{6^{0}e^{-6}}{0!}=e^{-6},
P(X=1)=\frac{6^{1}e^{-6}}{1!}=6e^{-6},
P(X=2)=\frac{6^{2}e^{-6}}{2!}=\frac{36\,e^{-6}}{2}=18e^{-6}.
Somando:
P(X<3)=\bigl(1+6+18\bigr)e^{-6}=25\,e^{-6}.

Passo 4

Avaliar numericamente 25\,e^{-6}.
Uma forma prática de obter e^{-6} sem calculadora é lembrar e^{-1}\approx0{,}367879 e elevar a potência: (e^{-1})^{6}.
  • e^{-1}\approx0{,}367879.
  • (e^{-1})^{2}\approx0{,}135335.
  • (e^{-1})^{4}\approx0{,}018315 (porque 0{,}135335^2\approx0{,}018315).
  • (e^{-1})^{6}=(e^{-1})^{4}\cdot(e^{-1})^{2}\approx0{,}018315\cdot0{,}135335\approx0{,}002478752.
Portanto
P(X<3)=25\cdot e^{-6}\approx25\cdot0{,}002478752\approx0{,}0619688\approx0{,}06197.
Em porcentagem isso é cerca de 6{,}197\%.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova.
A resposta exata é 25\,e^{-6}. Numericamente, a probabilidade de que menos de 3 pessoas usem o caixa em uma hora é aproximadamente 0{,}06197, ou cerca de 6{,}2\%.
Dica: em provas, se pedirem uma resposta exata e não derem calculadora, deixar como 25\,e^{-6} está perfeito; se pedirem aproximação, use a sequência de potências de e^{-1} como fiz para obter e^{-6}.

Resposta

25\,e^{-6}\approx0{,}06197

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