Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
nenhuma pessoa use os serviços durante o intervalo de trinta minutos?
nenhuma pessoa use os serviços durante o intervalo de trinta minutos?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
- Informação dada: em média,
pessoas por hora utilizam os caixas automáticos do banco. - Pergunta: qual a probabilidade de que nenhuma pessoa use os serviços durante um intervalo de trinta minutos?
Passo 2
Vamos pensar no que significa “em média
pessoas por hora”. Isso indica uma taxa média de chegadas constante ao longo do tempo. Em problemas assim é muito comum (e apropriado) modelar o número de chegadas em um intervalo de tempo por uma distribuição de Poisson. Antes de usar a fórmula, explico o que é e como aplicar.
A distribuição de Poisson é usada para contar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando:
- as ocorrências são independentes,
- a taxa média é constante,
- e a probabilidade de duas ocorrências simultâneas é negligenciável.
A função massa de probabilidade da Poisson é:
onde:
-
é o número de ocorrências no intervalo considerado, -
é o número de ocorrências que queremos (aqui ), -
é o valor esperado (média) do número de ocorrências nesse intervalo.
Passo 3
Precisamos calcular
para o intervalo de trinta minutos. A taxa média dada é
pessoas por hora. Trinta minutos correspondem a
hora. Assim:
Portanto o número esperado de pessoas em 30 minutos é
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da Poisson para
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos dar uma ideia numérica sem depender de calculadora sofisticada. Sabendo que
, então
e
Interpretação: cerca de
de probabilidade de não haver nenhuma pessoa em 30 minutos — pouco provável, mas possível.