Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
nenhuma pessoa use os serviços durante o intervalo de trinta minutos?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Informação dada: em média, 6 pessoas por hora utilizam os caixas automáticos do banco.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que nenhuma pessoa use os serviços durante um intervalo de trinta minutos?

Passo 2

Vamos pensar no que significa “em média 6 pessoas por hora”. Isso indica uma taxa média de chegadas constante ao longo do tempo. Em problemas assim é muito comum (e apropriado) modelar o número de chegadas em um intervalo de tempo por uma distribuição de Poisson. Antes de usar a fórmula, explico o que é e como aplicar.
A distribuição de Poisson é usada para contar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando:
  • as ocorrências são independentes,
  • a taxa média é constante,
  • e a probabilidade de duas ocorrências simultâneas é negligenciável.
A função massa de probabilidade da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\mu^{k}e^{-\mu}}{k!},
onde:
  • X é o número de ocorrências no intervalo considerado,
  • k é o número de ocorrências que queremos (aqui k=0),
  • \mu é o valor esperado (média) do número de ocorrências nesse intervalo.

Passo 3

Precisamos calcular \mu para o intervalo de trinta minutos. A taxa média dada é 6 pessoas por hora. Trinta minutos correspondem a 0,5 hora. Assim:
\mu = (\text{taxa por hora})\times(\text{tempo em horas}) = 6 \times 0,5 = 3.
Portanto o número esperado de pessoas em 30 minutos é \mu=3.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da Poisson para k=0:
P(X=0)=\frac{\mu^{0} e^{-\mu}}{0!}=e^{-\mu}.
Substituindo \mu=3:
P(X=0)=e^{-3}.

Passo 5

Vamos dar uma ideia numérica sem depender de calculadora sofisticada. Sabendo que e\approx2,7182818, então e^{3}\approx20,0855 e
e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}\approx\frac{1}{20,0855}\approx0,049787.
Interpretação: cerca de 4,98\% de probabilidade de não haver nenhuma pessoa em 30 minutos — pouco provável, mas possível.

Resposta

e^{-3}\approx0,049787

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