A mediana do número de aulas ministradas por 4 professores em uma determinada semana é igual a 5. A amplitude do número de aulas ministradas pelos mesmos professores na semana é 6. Determine se a declaração a seguir é, necessariamente, verdadeira. Caso não seja, dê um contra-exemplo.
Pelo menos um dos professores ministrou exatamente 5 aulas na semana.
Pelo menos um dos professores ministrou exatamente 5 aulas na semana.
Passo 1
Resumo da questão: temos 4 números (número de aulas dadas por 4 professores), a mediana desses 4 valores é 5 e a amplitude (diferença entre o maior e o menor) é 6. Queremos saber se é sempre verdade que “pelo menos um dos valores é igual a 5”.
Conteúdo: estatística descritiva (mediana e amplitude).
O que precisamos:
Conteúdo: estatística descritiva (mediana e amplitude).
O que precisamos:
- Definição de mediana para um conjunto com tamanho par.
- Definição de amplitude (range).
- Verificar se essas condições forçam algum valor a ser 5, ou se podemos dar um contra-exemplo.
Passo 2
Primeiro, lembra da mediana quando o número de observações é par (aqui n=4). Ordenamos os valores em ordem crescente:
.
A mediana é a média dos dois valores do meio:
A mediana é a média dos dois valores do meio:
Como a mediana é dada como 5, temos
Passo 3
Depois, a amplitude é definida como
Como a amplitude vale 6, temos
Passo 4
Agora, a pergunta: “Pelo menos um dos valores é exatamente 5?”
Para ver se isso é sempre obrigatoriamente verdade, basta tentar construir um conjunto que satisfaça
Para ver se isso é sempre obrigatoriamente verdade, basta tentar construir um conjunto que satisfaça
-
, -
,
sem nenhum valor igual a 5.
Passo 5
Vamos escolher um exemplo simples:
- Pegamos
. - Como a amplitude é 6, isso força
. - Queremos
.
Uma escolha prática ée .
Então o conjunto ordenado fica
.
Confere:
- mediana =
, - amplitude =
, - ninguém tem exatamente 5.
Resposta
Não é necessariamente verdadeira. Um contra-exemplo é o conjunto de aulas
, cuja mediana é 5 e a amplitude é 6, mas nenhum professor deu exatamente 5 aulas.