A mediana do número de aulas ministradas por 4 professores em uma determinada semana é igual a 5. A amplitude do número de aulas ministradas pelos mesmos professores na semana é 6. Determine se a declaração a seguir é, necessariamente, verdadeira. Caso não seja, dê um contra-exemplo.
Pelo menos um dos professores ministrou exatamente 5 aulas na semana.

Passo 1

Resumo da questão: temos 4 números (número de aulas dadas por 4 professores), a mediana desses 4 valores é 5 e a amplitude (diferença entre o maior e o menor) é 6. Queremos saber se é sempre verdade que “pelo menos um dos valores é igual a 5”.
Conteúdo: estatística descritiva (mediana e amplitude).
O que precisamos:
  • Definição de mediana para um conjunto com tamanho par.
  • Definição de amplitude (range).
  • Verificar se essas condições forçam algum valor a ser 5, ou se podemos dar um contra-exemplo.

Passo 2

Primeiro, lembra da mediana quando o número de observações é par (aqui n=4). Ordenamos os valores em ordem crescente: mediana = x2 + x32 .
A mediana é a média dos dois valores do meio:
x2 + x32 = 5 Longrightarrow x2 + x3 = 10
Como a mediana é dada como 5, temos

Passo 3

Depois, a amplitude é definida como
amplitude = x4 - x1
Como a amplitude vale 6, temos
x4 - x1 = 6

Passo 4

Agora, a pergunta: “Pelo menos um dos valores é exatamente 5?”
Para ver se isso é sempre obrigatoriamente verdade, basta tentar construir um conjunto que satisfaça
  1. ,
  2. ,
    sem nenhum valor igual a 5.

Passo 5

Vamos escolher um exemplo simples:
  • Pegamos .
  • Como a amplitude é 6, isso força .
  • Queremos .
    Uma escolha prática é e .
Então o conjunto ordenado fica .
Confere:
  • mediana = ,
  • amplitude = ,
  • ninguém tem exatamente 5.

Resposta

Não é necessariamente verdadeira. Um contra-exemplo é o conjunto de aulas , cuja mediana é 5 e a amplitude é 6, mas nenhum professor deu exatamente 5 aulas.

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