Médias:
integral 1(4 x^2+1)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral 1l(4x^2+1r)^3/2,dx
O conteúdo é integração de uma função com potência fracionária do tipo (ax)^2+1. Vamos usar substituição que transforme em integral (u^2+1)^-3/2du, cuja primitiva conhecida é
integral du(u^2+a^2)^3/2 = ua^2raizu^2+a^2+C

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Então o integrando fica
1(4x^2+1)^3/2,dx = 1(u^2+1)^3/2cdotdu2 = 12,du(u^2+1)^3/2

Passo 3

Aplicando a fórmula padrão para a=1, temos
integral du(u^2+1)^3/2 = u1^2raizu^2+1 + C = uraizu^2+1 + C
Portanto,
integral 12,du(u^2+1)^3/2 = 12,uraizu^2+1 + C

Passo 4

Volta-se à variável x usando u=2x:
12,uraizu^2+1 = 12,2xraiz4x^2+1 = xraiz4x^2+1 + C

Resposta

integral 1l(4x^2+1r)^3/2,dx = xraiz4x^2+1 + C

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