Médias:
integral x(x^2+9)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xl(x^2+9r)^3/2,dx
O conteúdo principal é integração por substituição. Vamos usar a mudança de variável u = x^2+9, já que sua derivada aparece no numerador.

Passo 2

Definimos
u = x^2 + 9
e, diferenciando, obtemos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral xl(x^2+9r)^3/2,dx = integral 1u^3/2;l(x,dxr) = integral 1u^3/2;12,du = 12integral u^-3/2,du

Passo 4

Para integrar uma potência, usamos
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
Aqui n=-tfrac32, então
12integral u^-3/2,du = 12cdotu^-1/2-1/2 + C = -,u^-1/2 + C
Voltando a x, fica
-,l(x^2+9r)^-1/2 + C = -1raizx^2+9 + C

Resposta

-1raizx^2+9 + C

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