Qual polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. Informações dadas e incógnitas:
  • Seja n o número de lados do polígono (ou seja, queremos determinar n).
  • O número de diagonais do polígono é dito ser o triplo do número de lados, ou seja, se chamarmos o número de diagonais de D, temos a relação D = 3n.
  • Precisamos usar a relação entre n e o número de diagonais D para determinar n.
  • Observação lógica: n deve ser um inteiro e n\ge 3 (para existir um polígono).

Passo 2

Vou explicar como calcular o número de diagonais D de um polígono de n lados (a fórmula que vamos usar). Raciocínio passo a passo e bem didático:
  • Pegue um vértice qualquer do polígono. Esse vértice conecta-se por segmentos a todos os outros n-1 vértices.
  • Dessas n-1 conexões, duas são lados (os dois vértices vizinhos) e não são diagonais. Então, a partir daquele vértice existem n-3 diagonais que saem dele.
  • Como isso vale para cada um dos n vértices, contando assim teríamos n(n-3) “segmentos diagonais” contados por vértice.
  • Mas cada diagonal foi contada duas vezes nesse processo (uma vez a partir de cada extremidade). Portanto devemos dividir por 2.
  • Conclusão: a fórmula para o número de diagonais é
D=\frac{n(n-3)}{2}.
Explicando as variáveis: n é o número de lados (e vértices) do polígono; D é o número total de diagonais.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado: o número de diagonais é o triplo do número de lados. Em símbolos:
\frac{n(n-3)}{2}=3n.
Lembrete: estamos buscando soluções inteiras com n\ge 3.

Passo 4

Vamos resolver a equação algebraicamente, passo a passo:
  • Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-3)=6n.
  • Expandindo o lado esquerdo:
n^2-3n=6n.
  • Colocando tudo num lado (subtraindo 6n):
n^2-3n-6n=0
ou
n^2-9n=0.
  • Fatorando:
n(n-9)=0.
  • As soluções dessa equação são \,n=0 ou \,n=9.

Passo 5

Avaliação das soluções quanto à interpretação geométrica:
  • \,n=0 não faz sentido para um polígono (um polígono precisa ter pelo menos 3 lados). Então descartamos \,n=0.
  • \,n=9 é admissível: é um inteiro maior ou igual a 3. Vamos checar a condição do enunciado para confirmação.
    Cálculo de verificação:
D=\frac{9(9-3)}{2}=\frac{9\cdot 6}{2}= \frac{54}{2}=27.
O triplo do número de lados é
3n=3\cdot 9=27.
Como D=27 e 3n=27, a condição é satisfeita.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova:
  • O polígono procurado tem \,9 lados — ou seja, é um nonágono (nonágono/eneágono).
  • Dica prática: para problemas que relacionam o número de diagonais com n, sempre lembre da fórmula \displaystyle D=\frac{n(n-3)}{2}. Ao montar a equação, verifique sempre as soluções inteiras e o domínio n\ge 3.

Resposta

Nonágono (polígono de 9 lados).

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