Qual polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. Informações dadas e incógnitas:
- Seja
o número de lados do polígono (ou seja, queremos determinar ). - O número de diagonais do polígono é dito ser o triplo do número de lados, ou seja, se chamarmos o número de diagonais de
, temos a relação . - Precisamos usar a relação entre
e o número de diagonais para determinar . - Observação lógica:
deve ser um inteiro e (para existir um polígono).
Passo 2
Vou explicar como calcular o número de diagonais
de um polígono de
lados (a fórmula que vamos usar). Raciocínio passo a passo e bem didático:
- Pegue um vértice qualquer do polígono. Esse vértice conecta-se por segmentos a todos os outros
vértices. - Dessas
conexões, duas são lados (os dois vértices vizinhos) e não são diagonais. Então, a partir daquele vértice existem diagonais que saem dele. - Como isso vale para cada um dos
vértices, contando assim teríamos “segmentos diagonais” contados por vértice. - Mas cada diagonal foi contada duas vezes nesse processo (uma vez a partir de cada extremidade). Portanto devemos dividir por
. - Conclusão: a fórmula para o número de diagonais é
Explicando as variáveis:
é o número de lados (e vértices) do polígono;
é o número total de diagonais.
Passo 3
Agora aplicamos a condição do enunciado: o número de diagonais é o triplo do número de lados. Em símbolos:
Lembrete: estamos buscando soluções inteiras com
.
Passo 4
Vamos resolver a equação algebraicamente, passo a passo:
- Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Expandindo o lado esquerdo:
- Colocando tudo num lado (subtraindo
):
ou
- Fatorando:
- As soluções dessa equação são
ou .
Passo 5
Avaliação das soluções quanto à interpretação geométrica:
-
não faz sentido para um polígono (um polígono precisa ter pelo menos lados). Então descartamos . -
é admissível: é um inteiro maior ou igual a . Vamos checar a condição do enunciado para confirmação.
Cálculo de verificação:
O triplo do número de lados é
Como
e
, a condição é satisfeita.
Passo 6
Interpretação final e dica para prova:
- O polígono procurado tem
lados — ou seja, é um nonágono (nonágono/eneágono). - Dica prática: para problemas que relacionam o número de diagonais com
, sempre lembre da fórmula . Ao montar a equação, verifique sempre as soluções inteiras e o domínio .
Resposta
Nonágono (polígono de
lados).