Verifique se a hipótese do contínuo pode ser usada nos seguintes casos:
Um mol de vapor de mercúrio possui 6,02 \times 10^{23} moléculas e tem massa de 200 g . Pode-se aplicar a hipótese do contínuo para um volume elementar encerrado em um cubo de aresta 10^{-} { }^{3} \mathrm{~mm}, no interior de um barômetro (parte superior), sabendo que a massa contida neste volume elementar é de 2,14 \times 10^{-25} UTM (UTM = Unidade Técnica de Massa =9,80665 \mathrm{~kg} )?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece:
    • Número de Avogadro: N_A = 6,02\times10^{23} moléculas por mol.
    • Massa de 1 mol de vapor de mercúrio: 200\\ \text{g} = 0,200\\ \text{kg}.
    • Aresta do cubo (volume elementar): a = 10^{-3}\\ \text{mm}.
    • Massa contida nesse volume elementar: m = 2,14\times10^{-25}\\ \text{UTM}.
    • Conversão: 1\\ \text{UTM} = 9,80665\\ \text{kg}.
  • O que é pedido:
    • Verificar se a hipótese do contínuo pode ser aplicada ao volume elementar do cubo de aresta 10^{-3}\\ \text{mm} (isto é, decidir se nesse volume há “muitas” moléculas a ponto de tratar a matéria como contínua).

Passo 2

Converter a aresta do cubo para metros e calcular o volume.
  • Converter a para metros: a = 10^{-3}\\ \text{mm} = 10^{-3}\times10^{-3}\\ \text{m} = 10^{-6}\\ \text{m}.
  • Volume do cubo: V = a^{3} = (10^{-6}\\ \text{m})^{3} = 10^{-18}\\ \text{m}^{3}.

Passo 3

Converter a massa dada em UTM para quilogramas.
  • Massa em quilogramas: m_{\text{kg}} = 2,14\times10^{-25}\\ \text{UTM}\times9,80665\\ \frac{\text{kg}}{\text{UTM}}.
  • Calculemos o produto numérico: m_{\text{kg}} = 2,14\times9,80665\times10^{-25}\\ \text{kg} = 2,0986231\times10^{-24}\\ \text{kg}.
  • Arredondando para 3 algarismos significativos: m_{\text{kg}} \approx 2,10\times10^{-24}\\ \text{kg}.

Passo 4

Determinar quantos mols de mercúrio há nesse volume elementar.
  • Usamos a relação entre massa e número de mols: n=\frac{m_{\text{kg}}}{M},onde M é a massa de 1 mol (molar mass) em kg/mol. Aqui M=0,200\\ \text{kg/mol}.
  • Substituindo: n=\frac{2,0986231\times10^{-24}}{0,200}=1,04931155\times10^{-23}\\ \text{mol}.
  • Arredondando: n\approx1,05\times10^{-23}\\ \text{mol}.

Passo 5

Calcular o número de moléculas no volume elementar usando N=N_A\,n.
  • Aplicando: N = n\,N_A = (1,04931155\times10^{-23})\times(6,02\times10^{23}).
  • Mantendo os fatores: N \approx 1,04931155\times6,02\times10^{-23+23}=1,04931155\times6,02\approx6,3168555.
  • Arredondando: N\approx6,32\\ \text{moléculas}.é
  • Como o número de moléculas deve ser inteiro, isso significa que há, em média, apenas cerca de 6 moléculas naquele volume elementar.

Passo 6

Explicar a hipótese do contínuo e aplicar o critério prático.
  • O que é a hipótese do contínuo (explicação didática):
    • A hipótese do contínuo diz que, para fins de descrição macroscópica (densidade, pressão, temperatura, etc.), a matéria pode ser tratada como um meio contínuo em todas as escalas de interesse; isto é, as propriedades são funções contínuas do espaço e tempo. Isso é válido quando o volume elementar considerado contém um número muito grande de moléculas, de modo que as grandezas médias (como densidade) sejam bem definidas e as flutuações microscópicas sejam desprezíveis.
    • Um critério prático: o volume elementar deve conter muitas partículas (tipicamente dezenas, centenas, melhor milhares ou mais); outra forma é exigir que o comprimento característico L seja muito maior que o caminho livre médio \lambda (Knudsen \mathrm{Kn}=\lambda/L \ll 1). Aqui não foi dado \lambda, então usamos o critério de número de moléculas.
  • Aplicação ao caso:
    • Encontramos N\approx6 moléculas no cubo. Isso é muito pequeno: flutuações estatísticas são enormes e não faz sentido definir densidade local contínua com precisão. Mesmo uma regra de bolso como “algumas centenas a milhares de moléculas” não é satisfeita.
    • Portanto, para esse volume elementar específico a hipótese do contínuo não é válida.

Passo 7

Observação prática e incentivo rápido.
  • Na prática, em um barômetro a escala macroscópica usual (milímetros ou acima) a hipótese do contínuo é perfeitamente válida porque volumes maiores contêm muitos mols de mercúrio/vapor. O problema aqui escolheu um cubo extremamente pequeno ( 10^{-3}\\ \text{mm} de aresta), cujo conteúdo molecular é ínfimo — por isso a hipótese falha nesse nível microscópico.
  • Boa! Você já viu como transformar unidades, calcular mols e usar Avogadro para contar moléculas — passos que caem muito em prova. Respira, isso aqui é um exemplo clássico de quando o contínuo não serve.

Resposta

Não. O volume elementar contém aproximadamente 6,32 moléculas (ou cerca de 6 moléculas), portanto a hipótese do contínuo não pode ser aplicada.

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