Verifique se a hipótese do contínuo pode ser usada nos seguintes casos:
Um mol de vapor de mercúrio possui
moléculas e tem massa de 200 g . Pode-se aplicar a hipótese do contínuo para um volume elementar encerrado em um cubo de aresta
, no interior de um barômetro (parte superior), sabendo que a massa contida neste volume elementar é de
UTM (UTM
Unidade Técnica de Massa
)?
Um mol de vapor de mercúrio possui
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece:
- Número de Avogadro:
moléculas por mol. - Massa de
mol de vapor de mercúrio: . - Aresta do cubo (volume elementar):
. - Massa contida nesse volume elementar:
. - Conversão:
.
- Número de Avogadro:
- O que é pedido:
- Verificar se a hipótese do contínuo pode ser aplicada ao volume elementar do cubo de aresta
(isto é, decidir se nesse volume há “muitas” moléculas a ponto de tratar a matéria como contínua).
- Verificar se a hipótese do contínuo pode ser aplicada ao volume elementar do cubo de aresta
Passo 2
Converter a aresta do cubo para metros e calcular o volume.
- Converter
para metros: - Volume do cubo:
Passo 3
Converter a massa dada em UTM para quilogramas.
- Massa em quilogramas:
- Calculemos o produto numérico:
- Arredondando para 3 algarismos significativos:
Passo 4
Determinar quantos mols de mercúrio há nesse volume elementar.
- Usamos a relação entre massa e número de mols:
onde é a massa de mol (molar mass) em kg/mol. Aqui . - Substituindo:
- Arredondando:
Passo 5
Calcular o número de moléculas no volume elementar usando
.
- Aplicando:
- Mantendo os fatores:
- Arredondando:
- Como o número de moléculas deve ser inteiro, isso significa que há, em média, apenas cerca de
moléculas naquele volume elementar.
Passo 6
Explicar a hipótese do contínuo e aplicar o critério prático.
- O que é a hipótese do contínuo (explicação didática):
- A hipótese do contínuo diz que, para fins de descrição macroscópica (densidade, pressão, temperatura, etc.), a matéria pode ser tratada como um meio contínuo em todas as escalas de interesse; isto é, as propriedades são funções contínuas do espaço e tempo. Isso é válido quando o volume elementar considerado contém um número muito grande de moléculas, de modo que as grandezas médias (como densidade) sejam bem definidas e as flutuações microscópicas sejam desprezíveis.
- Um critério prático: o volume elementar deve conter muitas partículas (tipicamente dezenas, centenas, melhor milhares ou mais); outra forma é exigir que o comprimento característico
seja muito maior que o caminho livre médio (Knudsen ). Aqui não foi dado , então usamos o critério de número de moléculas.
- Aplicação ao caso:
- Encontramos
moléculas no cubo. Isso é muito pequeno: flutuações estatísticas são enormes e não faz sentido definir densidade local contínua com precisão. Mesmo uma regra de bolso como “algumas centenas a milhares de moléculas” não é satisfeita. - Portanto, para esse volume elementar específico a hipótese do contínuo não é válida.
- Encontramos
Passo 7
Observação prática e incentivo rápido.
- Na prática, em um barômetro a escala macroscópica usual (milímetros ou acima) a hipótese do contínuo é perfeitamente válida porque volumes maiores contêm muitos mols de mercúrio/vapor. O problema aqui escolheu um cubo extremamente pequeno (
de aresta), cujo conteúdo molecular é ínfimo — por isso a hipótese falha nesse nível microscópico. - Boa! Você já viu como transformar unidades, calcular mols e usar Avogadro para contar moléculas — passos que caem muito em prova. Respira, isso aqui é um exemplo clássico de quando o contínuo não serve.
Resposta
Não. O volume elementar contém aproximadamente
moléculas (ou cerca de
moléculas), portanto a hipótese do contínuo não pode ser aplicada.