Para que um medicamento faça o efeito desejado a sua concentração na corrente sanguínea deve ser acima do nível terapêutico mínimo. Se a concentração c desse medicamento t horas após ser ingerido é dada por c=20 tt^2+4 mg / L e o seu nível terapêutico mínimo é 40 mg / L, determine a partir de que instante esse nível é excedido.

Passo 1

O enunciado nos diz que a concentração do medicamento na corrente sanguínea em função do tempo é dada por c(t)=20tt^2+4 em mg/L e que precisamos encontrar os instantes t tais que c(t)>40. O conteúdo envolvido é resolução de inequação racional e uso de propriedades de inequações.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador t^2+4 é sempre positivo para todo t, pois t^2>=0 implica t^2+4>=4>0. Então podemos multiplicar ambos os lados da inequação por t^2+4 sem inverter o sinal:
20tt^2+4>40 implies 20t>40(t^2+4)

Passo 3

Agora expandimos e agrupamos todos os termos de um lado:
20t>40t^2+160 implies 0>40t^2-20t+160 implies 2t^2 - t +8<0,
onde dividimos ambos os lados por 20.

Passo 4

Para resolver 2t^2 - t +8<0, calculamos o discriminante:
De
Como o coeficiente do termo t^2 é positivo e a parábola não corta o eixo t ( De), a expressão 2t^2 - t +8 é sempre positiva para todo t. Logo, não há valores de t que satisfaçam 2t^2 - t +8<0.

Passo 5

Concluímos, portanto, que não existe instante t>=0 em que c(t)>40. A concentração máxima ocorre em t=2 horas e vale c(2)=5 mg/L, muito abaixo de 40 mg/L.

Resposta

A concentração nunca excede 40 mg/L em nenhum instante.

Exercícios relacionados