Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=( x^2 y, x y^2, 2 x y z) sobre a superfície do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+2 y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial $ F(x, y, z) = \left( x^{2} y, , x y^{2}, , 2 x y z \right) $ sobre a superfície de um tetraedro limitado pelos planos $ x=0 $, $ y=0 $, $ z=0 $ e $ x + 2y + z = 2 $.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume. Vamos precisar entender o que é fluxo, divergência e como aplicar o teorema nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial $ F $ através de uma superfície $ S $ mede quanto do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície:
F
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Mas calcular diretamente essa integral pode ser complicado, especialmente para formas geométricas como um tetraedro. É aí que entra o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, o fluxo através da superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ F $ sobre o volume $ V $ dentro de $ S $.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de $ F $. A divergência $ \nabla \cdot \mathbf{F} $ é dada por:
F
Calculando cada derivada:
nabla cdot F
nabla cdot F = partialpartial x(x^2 y) + partialpartial y(x y^2) + partialpartial z(2 x y z)
partialpartial x(x^2 y) = 2x y
Então,
partialpartial y(x y^2) = 2x y

Passo 5

Agora, precisamos integrar $ \nabla \cdot \mathbf{F} = 6x y $ sobre o volume do tetraedro definido pelos planos $ x=0 $, $ y=0 $, $ z=0 $ e $ x + 2y + z = 2 $.
Vamos primeiro determinar os limites de integração. A equação $ x + 2y + z = 2 $ pode ser rearranjada para $ z = 2 - x - 2y $. Como $ z \geq 0 $, temos $ 2 - x - 2y \geq 0 $, ou seja, $ x + 2y \leq 2 $.
Para $ y $, quando $ x = 0 $, $ 2y \leq 2 $ então $ y \leq 1 $. E para $ x $, $ x \leq 2 $.

Passo 6

Vamos configurar a integral tripla:
integral triplaV 6x y , dV = integralx=0^2 integraly=0^(2 - x)/2 integralz=0^2 - x - 2y 6x y , dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z

Passo 7

Agora, integramos em relação a $ y $:
y
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integraly=0^(2 - x)/2 6x y (2 - x - 2y) , dy
Agora, integramos termo a termo:
6x y (2 - x - 2y) = 12x y - 6x^2 y - 12x y^2
integral0^(2 - x)/2 12x y , dy = 12x cdot y^22 |0^(2 - x)/2 = 6x ( (2 - x)^24 ) = 6x (2 - x)^24
integral0^(2 - x)/2 -6x^2 y , dy = -6x^2 cdot y^22 |0^(2 - x)/2 = -3x^2 ( (2 - x)^24 ) = -3x^2 (2 - x)^24
Somando tudo:
integral0^(2 - x)/2 -12x y^2 , dy = -12x cdot y^33 |0^(2 - x)/2 = -4x ( (2 - x)^38 ) = -4x (2 - x)^38 = -x (2 - x)^32

Passo 8

Simplificando a expressão:
6x (2 - x)^2 - 3x^2 (2 - x)^2 - 2x (2 - x)^34
Fatorando $ x (2 - x)^{2} $:
x (2 - x)^2
Então:
x (2 - x)^2 [6 - 3x - 2(2 - x)]4 = x (2 - x)^2 [6 - 3x - 4 + 2x]4 = x (2 - x)^2 [2 - x]4

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
x
Vamos fazer a substituição $ u = 2 - x $, então $ du = -dx $ e quando $ x = 0 $, $ u = 2 $; quando $ x = 2 $, $ u = 0 $.
A integral fica:
integral0^2 x (2 - x)^34 , dx = 14 integral0^2 x (2 - x)^3 , dx
Integrando termo a termo:
u = 2 - x

Resposta

O fluxo do campo $ F $ sobre a superfície do tetraedro é $ \frac{2}{5} $.

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