Calcule o fluxo do campo
sobre a superfície do tetraedro limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial $ F(x, y, z) = \left( x^{2} y, , x y^{2}, , 2 x y z \right) $ sobre a superfície de um tetraedro limitado pelos planos $ x=0 $, $ y=0 $, $ z=0 $ e $ x + 2y + z = 2 $.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume. Vamos precisar entender o que é fluxo, divergência e como aplicar o teorema nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial $ F $ através de uma superfície $ S $ mede quanto do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície:
onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Mas calcular diretamente essa integral pode ser complicado, especialmente para formas geométricas como um tetraedro. É aí que entra o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que:
Ou seja, o fluxo através da superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ F $ sobre o volume $ V $ dentro de $ S $.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de $ F $. A divergência $ \nabla \cdot \mathbf{F} $ é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos integrar $ \nabla \cdot \mathbf{F} = 6x y $ sobre o volume do tetraedro definido pelos planos $ x=0 $, $ y=0 $, $ z=0 $ e $ x + 2y + z = 2 $.
Vamos primeiro determinar os limites de integração. A equação $ x + 2y + z = 2 $ pode ser rearranjada para $ z = 2 - x - 2y $. Como $ z \geq 0 $, temos $ 2 - x - 2y \geq 0 $, ou seja, $ x + 2y \leq 2 $.
Para $ y $, quando $ x = 0 $, $ 2y \leq 2 $ então $ y \leq 1 $. E para $ x $, $ x \leq 2 $.
Passo 6
Vamos configurar a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Passo 7
Agora, integramos em relação a $ y $:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Fatorando $ x (2 - x)^{2} $:
Então:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
Vamos fazer a substituição $ u = 2 - x $, então $ du = -dx $ e quando $ x = 0 $, $ u = 2 $; quando $ x = 2 $, $ u = 0 $.
A integral fica:
Integrando termo a termo:
Resposta
O fluxo do campo $ F $ sobre a superfície do tetraedro é $ \frac{2}{5} $.