A medição da altura de uma peça foi efetuada com paquímetro analógico com resolução de 0,02 \mathrm{~mm} e faixa nominal de 150 mm . Cinco medições foram efetuadas. A indicação do paquímetro nas cinco medições foi de 40,02 \mathrm{~mm}. As medições foram efetuadas a 20 \pm 1^{\circ} \mathrm{C}.
a) Identifique a variável de saída e as variáveis de entrada para efeitos de cálculo da incerteza de medição.
b) Apresente o modelo matemático da medição.
c) Aplique a lei de propagação de incertezas no modelo matemático da medição.
d) Apresente as equações, tipo de avalição, distribuição de probabilidade e o número de graus de liberdade para efeitos de cálculo da incerteza padrão das variáveis de entrada. Considere que o paquímetro está calibrado, entretanto o certificado de calibração não está disponível.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) identificar a variável de saída e as variáveis de entrada que influenciam a incerteza da medição; (b) escrever um modelo matemático da medição; (c) aplicar a lei de propagação de incertezas ao modelo; (d) apresentar para cada variável de entrada as equações usadas para obter sua incerteza padrão, o tipo de avaliação (A ou B), a distribuição assumida e o número de graus de liberdade.
Dados fornecidos que vamos usar explicitamente: a resolução do paquímetro é \,0,02\\ \mathrm{mm}\,; a faixa nominal é 150\\ \mathrm{mm} (informação de faixa, não usada numericamente aqui); foram feitas 5 medições, todas com indicação \,40,02\\ \mathrm{mm}\,; a temperatura durante as medições foi 20\pm1^\circ\mathrm{C}; o paquímetro está calibrado mas o certificado de calibração não está disponível (logo não temos um valor numérico para a incerteza da calibração).

Passo 2

Identificação das variáveis (sem resolver ainda):
  • Variável de saída (quantidade a reportar): a altura medida da peça, que chamarei de \,Y. Este é o resultado da medição que queremos reportar com sua incerteza.
  • Variáveis de entrada relevantes para a incerteza (explicando o porquê de cada uma):
    1. \bar{X}: a média aritmética das 5 leituras brutas do instrumento (representa a leitura central). Influencia diretamente Y.
    2. \delta_{\text{res}}: erro devido à resolução (quantização) do paquímetro — cada leitura só é conhecida dentro de um passo de 0,02\\ \mathrm{mm}.
    3. \delta_{\text{cal}}: incerteza residual decorrente da calibração do paquímetro (erro sistemático não completamente conhecido). O instrumento está calibrado, mas sem certificado não temos o valor numérico dessa incerteza.
    4. \delta_{T}: efeito da temperatura (dilatação térmica do artefato e do instrumento) devido à variação \pm1^\circ\mathrm{C}.
    5. Repetibilidade / variação estatística das 5 leituras (erro aleatório) — será avaliada por análise A (período de amostragem): chamo essa componente u_{\bar{X}}.
Comentário rápido: outras fontes menores (erro de paralaxe, força de medição, desgaste das faces) existem, mas não foram quantificadas no enunciado; portanto só usamos as que temos informação ou que tipicamente se incluem.

Passo 3

Modelo matemático da medição (forma linear adequada quando as contribuições são aditivas):
Y=\bar{X}+\delta_{\text{res}}+\delta_{\text{cal}}+\delta_{T}.
Explicação do modelo:
  • \bar{X} é a média das leituras (valor central medido).
  • Cada \delta é um termo de erro (incerto) com esperança zero (para fins de combinação quadrática) e que contribui para a incerteza do resultado. O modelo é linear porque a leitura final é obtida somando a leitura bruta e os eventuais desvios/erros.

Passo 4

Aplicação da lei de propagação de incertezas ao modelo linear. Regra geral: se
Y = f(X_1,X_2,\dots,X_m)
então a incerteza combinada padrão é
u_c(Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial f}{\partial X_i}\right)^2 u^2(X_i) + 2\sum_{i<j}\frac{\partial f}{\partial X_i}\frac{\partial f}{\partial X_j}\,u(X_i,X_j)}
Aqui assumimos que as contribuições são não correlacionadas (nenhuma covariância conhecida). No nosso modelo linear Y=\bar{X}+\delta_{\text{res}}+\delta_{\text{cal}}+\delta_{T} cada coeficiente sensibilidade é 1. Portanto, sem correlações,
u_c(Y)=\sqrt{u^2(\bar{X})+u^2_{\text{res}}+u^2_{\text{cal}}+u^2_{T}}.
Comentário sobre “sensibilidade”: como cada entrada entra somando, a derivada parcial em relação a cada entrada é 1, daí a soma direta das variâncias.

Passo 5

Avaliação da incerteza da média \bar{X} (componente estatística, Tipo A):
  • Temos n=5 leituras: todas iguais a 40,02\\ \mathrm{mm}. A média é
\bar{X}=40,02\\ \mathrm{mm}.
  • O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}=0,
porque todas as leituras são iguais. Logo a incerteza padrão da média é
u(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{n}}=0.
  • Tipo de avaliação: A (estatística).
  • Distribuição assumida: normal (a teoria para u(\bar{X}) assume normalmente que o ruído aleatório segue distribuição próxima de Gauss).
  • Número de graus de liberdade associados: \nu = n-1 = 4.
Observação importante (didática e prática): embora u(\bar{X})=0 por essas leituras idênticas, na prática ainda existem outras fontes (resolução, calibração, temperatura) que não permitem que a incerteza total seja zero.

Passo 6

Avaliação da incerteza devido à resolução do paquímetro (Tipo B):
  • Quando um instrumento tem um passo de leitura \Delta=0,02\\ \mathrm{mm}, se não tivermos informação adicional sobre o viés dentro desse passo, assume-se distribuição uniforme (rectangular) na faixa [-\Delta/2,+\Delta/2]. Para uma variável com distribuição rectangular de largura a (aqui a=\Delta), o desvio padrão é a/\sqrt{12}.
  • Assim:
u_{\text{res}}=\frac{\Delta}{\sqrt{12}}=\frac{0,02}{\sqrt{12}}\\ \mathrm{mm}.
  • Cálculo numérico:
u_{\text{res}}=\frac{0,02}{\sqrt{12}} \approx 0{,}0057735\\ \mathrm{mm}.
  • Tipo de avaliação: B.
  • Distribuição assumida: rectangular (uniforme).
  • Graus de liberdade: para avaliações tipo B normalmente se toma \nu\approx\infty (ou muito grande), isto é, não reduzimos os graus de liberdade por não ter uma distribuição amostral associada; para uso do método de Welch-Satterthwaite, tratamos como \infty.

Passo 7

Avaliação da incerteza devido à temperatura (Tipo B), procedimento e cálculo numérico com hipótese razoável:
  • A variação de temperatura é dada como 20\pm1^\circ\mathrm{C}. Sem outra informação, assumimos erro de temperatura uniforme em [ -1^\circ\mathrm{C}, +1^\circ\mathrm{C}]. O desvio padrão da variação de temperatura é, portanto, u(\Delta T)=1/\sqrt{3}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  • O efeito na dimensão é aproximadamente linear: \Delta L = \alpha\,L\,\Delta T, onde \alpha é o coeficiente de dilatação térmica do material (unidade /^\circ\mathrm{C}) e L é a dimensão (aqui tomamos L\approx\bar{X}). Logo a incerteza padrão devido à temperatura é
u_T = \alpha\,\bar{X}\,u(\Delta T)=\alpha\,\bar{X}\,\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Como o enunciado não dá o material, faço uma hipótese típica (usar só para obter ordem de grandeza): se a peça for aço inoxidável/ aço comum, \alpha\approx 11\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}. Usando \bar{X}=40{,}02\\ \mathrm{mm},
u_T \approx 11\times10^{-6}\times 40{,}02\times\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{mm}.
  • Cálculo numérico:
u_T \approx 11\times10^{-6}\times 40{,}02 \times 0{,}57735 \approx 2{,}54\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}\\ (0{,}000254\\ \mathrm{mm}).
  • Tipo de avaliação: B.
  • Distribuição assumida: resultado de produto de coeficiente constante por temperatura com temperatura uniforme => trata-se como resultado de uma entrada com distribuição rectangular; portanto u_T obtido por conversão da meia-amplitude de \Delta T para desvio padrão.
  • Graus de liberdade: \nu\approx\infty (Tipo B).
Observação: se a peça e o paquímetro forem do mesmo material e estiverem à mesma temperatura, o efeito diferencial pode ser ainda menor; aqui calculamos efeito na peça por segurança.

Passo 8

Avaliação da incerteza de calibração (Tipo B) e observação sobre a falta do certificado:
  • O termo u_{\text{cal}} representa a incerteza residual descrita no certificado de calibração (incerteza combinada do instrumento após calibração). Como o enunciado diz que o paquímetro está calibrado, mas o certificado não está disponível, NÃO temos um valor numérico para u_{\text{cal}}. Portanto:
    • Tipo de avaliação: B.
    • Distribuição: normalmente o certificado dá incerteza combinada (muitas vezes tratada como normal) ou um limite (retangular). Sem certificado, não podemos afirmar o valor nem a forma com confiança.
    • Grau de liberdade: se tivéssemos o certificado, o fabricante/laboratório indicaria graus de liberdade; na falta dele tomamos \nu\approx\infty como aproximação para componentes tipo B.
  • Consequência prática: o valor numérico final da incerteza combinada do resultado dependerá de u_{\text{cal}}. Em outras palavras, sem certificado podemos calcular a incerteza combinada parcial (somando as componentes que conhecemos), mas não a incerteza final completa. Se for necessário relatar um número final para uso em prova/relatório, uma prática é:
    • pedir/usar o valor de incerteza do certificado, ou
    • usar a tolerância/especificação do fabricante (ex.: se fabricante dá precisão \pm0{,}05\\ \mathrm{mm}, converter isso para desvio padrão assumindo distribuição rectangular: u_{\text{cal}}=\frac{0{,}05}{\sqrt{12}}), ou
    • documentar explicitamente que u_{\text{cal}} não foi incluído por falta de certificado.

Passo 9

Cálculo da incerteza combinada parcial usando apenas componentes quantificáveis (repetibilidade, resolução, temperatura) — deixando u_{\text{cal}} simbólico:
  • Substituindo os valores que temos:
u(\bar{X})=0,\qquad u_{\text{res}}=0{,}0057735\\ \mathrm{mm},\qquad u_T\approx 0{,}000254\\ \mathrm{mm}.
  • Combinação (sem u_{\text{cal}}):
u_c^{(\text{sem cal})}=\sqrt{0^2 + (0{,}0057735)^2 + (0{,}000254)^2} \approx \sqrt{3{,}333\times10^{-5} + 6{,}45\times10^{-8}} \approx 0{,}00578\\ \mathrm{mm}.
  • Em notação compacta, incluindo u_{\text{cal}} simbólico:
u_c=\sqrt{u^2(\bar{X})+u^2_{\text{res}}+u^2_T+u^2_{\text{cal}}} =\sqrt{0^2+(0{,}0057735)^2+(0{,}000254)^2+u^2_{\text{cal}}}.
  • Interpretação: sem a contribuição da calibração, a incerteza é dominada pela resolução do paquímetro; u_{\text{cal}} pode aumentar o resultado dependendo do seu valor.

Passo 10

Breve nota prática final e incentivo:
  • Resultado numérico parcial (sem certificado de calibração) para a incerteza padrão combinada é u_c^{(\text{sem cal})}\approx 0{,}00578\\ \mathrm{mm}. Se conseguir o certificado, inclua u_{\text{cal}} pela fórmula dada no Passo 9 e recalcule. Você está indo bem — a maior parte do trabalho é identificar e colocar as equações; a parte numérica aqui é pequena e direta.

Resposta

(a) Variável de saída: Y = altura medida da peça. Variáveis de entrada: \bar{X} (média das 5 leituras), \delta_{\text{res}} (erro por resolução \Delta=0{,}02\\ \mathrm{mm}), \delta_{\text{cal}} (incerteza residual de calibração, sem certificado), \delta_{T} (efeito da temperatura 20\pm1^\circ\mathrm{C}), e a componente estatística da repetibilidade u(\bar{X}).
(b) Modelo matemático: Y=\bar{X}+\delta_{\text{res}}+\delta_{\text{cal}}+\delta_{T}.
(c) Lei de propagação aplicada (assumindo não correlacionadas): u_c(Y)=\sqrt{u^2(\bar{X})+u^2_{\text{res}}+u^2_{\text{cal}}+u^2_{T}}. Numérico parcial (sem u_{\text{cal}}): u_c^{(\text{sem cal})}=\sqrt{0^2+\left(\frac{0,02}{\sqrt{12}}\right)^2+\left(\alpha\bar{X}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\approx 0{,}00578\\ \mathrm{mm} (usando \alpha=11\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C} e \bar{X}=40{,}02\\ \mathrm{mm}).
(d) Equações, tipo de avaliação, distribuição e graus de liberdade:
  • Para \bar{X}: u(\bar{X})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}. Tipo A; distribuição aproximada normal; \nu=n-1=4. No caso dado, s=0\Rightarrow u(\bar{X})=0.
  • Para resolução: u_{\text{res}}=\dfrac{\Delta}{\sqrt{12}}=\dfrac{0,02}{\sqrt{12}}\approx0{,}0057735\\ \mathrm{mm}. Tipo B; distribuição rectangular (uniforme); \nu\approx\infty.
  • Para temperatura: u_T=\alpha\,\bar{X}\,\dfrac{1}{\sqrt{3}} (porque \Delta T=\pm1^\circ\mathrm{C} é tratado uniforme). Tipo B; distribuição rectangular; \nu\approx\infty. Com \alpha=11\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C} obtém-se u_T\approx0{,}000254\\ \mathrm{mm}.
  • Para calibração: u_{\text{cal}} não pode ser quantificado sem o certificado. Tipo B; distribuição a definir pelo certificado (muitas vezes normal ou rectangular); graus de liberdade conforme certificado (na falta dele, costuma-se usar \nu\approx\infty e/ou obter u_{\text{cal}} da especificação do fabricante).
Observação final: a incerteza padrão combinada completa é \displaystyle u_c=\sqrt{0^2+(0{,}0057735)^2+(0{,}000254)^2+u^2_{\text{cal}}}. Sem u_{\text{cal}} numérico, o valor parcial calculado é u_c^{(\text{sem cal})}\approx0{,}00578\\ \mathrm{mm}.

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