Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de \mathrm{R} \ 56,28$ com a taxa de 3% ao mês?
Resposta: 37 meses e 6 dias.

Passo 1

O enunciado dá o capital inicial e a taxa e pede o tempo para o capital triplicar. Informações relevantes:
  • Capital inicial: C = \mathrm{R}\$\,56,28.
  • Queremos que o montante seja três vezes o capital: M = 3C.
  • Taxa de juros: i = 3\% ao mês, isto é, i = 0,03 por mês.
  • Pergunta: quanto tempo (em meses e dias) será necessário para que C se torne M?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em regime de juros compostos, o montante M após n períodos com capital C e taxa por período i é dado por
M = C(1+i)^{n}.
Explicando cada símbolo:
  • M é o valor final (montante).
  • C é o capital inicial.
  • i é a taxa por período (aqui por mês).
  • n é o número de períodos (aqui número de meses).
  • A razão disso: a cada período o capital é multiplicado por (1+i); após n vezes, multiplica-se C por (1+i) repetidamente, resultando em C(1+i)^n.

Passo 3

Aplicando ao caso de triplicar o capital:
  • Queremos M = 3C. Substituindo na fórmula,
3C = C(1+i)^{n}.
  • Podemos simplificar dividindo ambos os lados por C (desde que C\neq 0):
3 = (1+i)^{n}.
  • Agora precisamos isolar n. Para isso usamos logaritmos, porque n está como expoente. Usando logaritmo natural (poderia ser log base 10 também), aplicamos \ln nos dois lados:
\ln 3 = \ln\big((1+i)^{n}\big).
  • Usando a propriedade \ln(a^{b}) = b\ln a, obtemos
\ln 3 = n \ln(1+i).
  • Finalmente isolamos n:
n = \frac{\ln 3}{\ln(1+i)}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
  • Taxa: i = 0,03, portanto 1+i = 1,03.
  • Fórmula numérica:
n = \frac{\ln 3}{\ln 1,03}.
  • Valores das funções logaritmo (aproximações usadas):
\ln 3 \approx 1,098612289,\qquad \ln 1,03 \approx 0,029558802.
  • Dividindo:
n \approx \frac{1,098612289}{0,029558802} \approx 37,176622.
Logo são cerca de 37{,}176622 meses.

Passo 5

Converter a parte fracionária de mês em dias (explicação do procedimento):
  • Separei n em parte inteira e fracionária:
n = 37 + 0{,}176622\\ \text{meses}.
  • Convenção prática para converter meses em dias: usar mês comercial de 30 dias (procedimento comum em cálculos financeiros). Assim:
\text{dias} = 0{,}176622 \times 30 \approx 5{,}29866\\ \text{dias}.
  • Interpretando a fração de dia em horas e minutos:
0{,}29866 \times 24 \approx 7{,}16784\\ \text{horas},
ou seja aproximadamente 7 horas e
0{,}16784 \times 60 \approx 10{,}07\\ \text{minutos}.
Portanto 0{,}176622 mês ≈ 5 dias, 7 horas e 10 minutos.

Passo 6

Arredondamento para dias inteiros (justificativa para chegar na resposta fornecida):
  • Se arredondarmos o número de dias para um valor inteiro por aproximação usual (arredondamento ao dia mais próximo ou por considerar que um dia parcial conta como dia completo para fins práticos), 5{,}29866 dias aproxima-se a 5 dias (se truncar) ou a 5 dias e algumas horas; se optarmos por arredondar para cima (considerando que é necessário completar o dia parcial), obtemos 6 dias.
  • A resposta fornecida no enunciado é 37 meses e 6 dias, o que corresponde a arredondar a parte fracionária do mês para cima (ou aproximar 5{,}29866 dias para 6 dias). Isso é razoável em contexto prático, pois até completar o sexto dia o capital ainda não teria triplicado, então pode-se dizer que são necessários “37 meses e 6 dias” para atingir ou ultrapassar o objetivo.

Resposta

37 meses e 6 dias.

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