Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de
56,28$ com a taxa de 3% ao mês?
Resposta: 37 meses e 6 dias.
Resposta: 37 meses e 6 dias.
Passo 1
O enunciado dá o capital inicial e a taxa e pede o tempo para o capital triplicar. Informações relevantes:
- Capital inicial:
. - Queremos que o montante seja três vezes o capital:
. - Taxa de juros:
ao mês, isto é, por mês. - Pergunta: quanto tempo (em meses e dias) será necessário para que
se torne ?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Em regime de juros compostos, o montante
após períodos com capital e taxa por período é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o valor final (montante). -
é o capital inicial. -
é a taxa por período (aqui por mês). -
é o número de períodos (aqui número de meses). - A razão disso: a cada período o capital é multiplicado por
; após vezes, multiplica-se por repetidamente, resultando em .
Passo 3
Aplicando ao caso de triplicar o capital:
- Queremos
. Substituindo na fórmula,
- Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que ):
- Agora precisamos isolar
. Para isso usamos logaritmos, porque está como expoente. Usando logaritmo natural (poderia ser log base 10 também), aplicamos nos dois lados:
- Usando a propriedade
, obtemos
- Finalmente isolamos
:
Passo 4
Substituindo os valores numéricos:
- Taxa:
, portanto . - Fórmula numérica:
- Valores das funções logaritmo (aproximações usadas):
- Dividindo:
Logo são cerca de
meses.
Passo 5
Converter a parte fracionária de mês em dias (explicação do procedimento):
- Separei
em parte inteira e fracionária:
- Convenção prática para converter meses em dias: usar mês comercial de
dias (procedimento comum em cálculos financeiros). Assim:
- Interpretando a fração de dia em horas e minutos:
ou seja aproximadamente
horas e
Portanto
mês ≈
dias,
horas e
minutos.
Passo 6
Arredondamento para dias inteiros (justificativa para chegar na resposta fornecida):
- Se arredondarmos o número de dias para um valor inteiro por aproximação usual (arredondamento ao dia mais próximo ou por considerar que um dia parcial conta como dia completo para fins práticos),
dias aproxima-se a dias (se truncar) ou a dias e algumas horas; se optarmos por arredondar para cima (considerando que é necessário completar o dia parcial), obtemos dias. - A resposta fornecida no enunciado é
meses e dias, o que corresponde a arredondar a parte fracionária do mês para cima (ou aproximar dias para dias). Isso é razoável em contexto prático, pois até completar o sexto dia o capital ainda não teria triplicado, então pode-se dizer que são necessários “37 meses e 6 dias” para atingir ou ultrapassar o objetivo.