A temperatura da superfície do Sol é 5780 K . (a) Determine a massa em repouso perdida por segundo pelo Sol sob forma de radiação (luminosidade
). O diâmetro do Sol é
. (b) A constante solar corresponde a
e especifica a radiação incidente fora da atmosfera da Terra. Considere a Terra como sendo um corpo negro reemitindo
(Albedo
) da radiação incidente. Qual seria a temperatura da superfície terrestre? Compare com as temperaturas médias nos hemisférios norte/sul
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e o que é fornecido:
-
Pergunta (a): Determinar a massa em repouso perdida por segundo pelo Sol sob forma de radiação.
Dados fornecidos: a temperatura da superfície do Sol ée o diâmetro do Sol é . A lei indicada é a lei de Stefan–Boltzmann para a luminosidade: e a relação massa-energia . -
Pergunta (b): Usando a constante solar
(radiação incidente fora da atmosfera), e considerando que a Terra reflete (albedo ) e reemite como corpo negro os restantes, calcular a temperatura de equilíbrio da superfície terrestre. Comparar com as temperaturas médias nos hemisférios norte/sul e .
Dados físicos que usarei (valores padrão):
(constante de Stefan–Boltzmann) e
(velocidade da luz). Vou também usar a geometria do Sol/Terra quando necessário.
Passo 2
Explicando as fórmulas que vamos usar (aula curta e prática):
- Lei de Stefan–Boltzmann: um corpo negro à temperatura
emite por unidade de área superficial power (unidade ). Para uma esfera de raio a potência total (luminosidade) emitida é a área da superfície vezes , ou seja
Aqui
é potência total (energia por segundo),
é o raio da esfera,
é a constante, e
a temperatura. Isso vem de somar a emissão de cada pedacinho da superfície.
- Equivalência massa-energia de Einstein: quando uma quantidade de energia
sai como radiação, a massa em repouso correspondente perdida é . Se , então a perda de massa por tempo é
Fácil: energia vira massa pelo fator
.
Vou aplicar essas duas relações para obter a perda de massa por segundo do Sol.
Passo 3
Cálculo do raio do Sol a partir do diâmetro dado (uso direto do dado do enunciado):
O diâmetro do Sol é
, então o raio é metade:
Passo 4
Cálculo da luminosidade do Sol passo a passo (substituindo em
):
-
Calcular
: . -
Calcular
: . Primeiro . Então
. -
Multiplicar tudo:
Faço as potências de 10 separadas e os coeficientes:
- Produto dos coeficientes aproximadamente
(verificação numérica detalhada no cálculo abaixo). - Potências de 10:
.
Portanto
(Esse valor está em acordo com o valor conhecido da luminosidade solar,
; pequenas diferenças vêm de arredondamentos nos constantes.)
Passo 5
Converter a luminosidade em perda de massa por segundo usando
:
Usando
,
Interpretação rápida (motivação): o Sol, por radiação, perde massa da ordem de alguns bilhões de toneladas por segundo (
), ou seja
.
Passo 6
Agora a parte (b): explicação conceitual antes de calcular.
- A constante solar
é a potência por unidade de área recebida perpendicularmente ao Sol, fora da atmosfera, na distância da Terra. - A Terra intercepta a radiação solar numa área igual à seção circular de raio
, isto é . Mas a Terra, como corpo praticamente esférico, reemite essa energia por toda a sua superfície, que tem área . Por isso aparece o fator nas médias por área. - Considerando albedo
, a fração absorvida é . Em equilíbrio térmico (energia absorvida = energia emitida) temos:
Cancelando
obtemos a fórmula padrão:
Assim
Essa é a temperatura de equilíbrio radiativo da Terra no modelo simples de corpo negro (sem efeito estufa).
Passo 7
Cálculo numérico da temperatura de equilíbrio usando a fórmula obtida:
Substituo
e
:
Agora divido por
:
Tomando a raiz quarta:
Converter para graus Celsius:
Ou seja, no modelo simples a temperatura de equilíbrio da Terra seria cerca de
.
Passo 8
Comparação e interpretação física (explicação didática, sem pular etapas):
- As médias dadas no enunciado são
(hemisfério norte) e (hemisfério sul). Essas correspondem a cerca de e , muito mais altas que os do modelo radiativo simples. - A diferença principal vem do efeito estufa natural: a atmosfera contém gases (vapor d’água, dióxido de carbono, etc.) que são praticamente transparentes à radiação solar de onda curta, mas absorvem e reemitem a radiação infravermelha (onda longa) emitida pela superfície. Isso faz com que a superfície seja aquecida além da temperatura calculada para um corpo negro sem atmosfera. Em termos simples: a energia que a superfície emite é parcialmente retida e reemitida de volta, elevando a temperatura de equilíbrio da superfície.
- Portanto o modelo usado em (b) é útil para calcular a “temperatura efetiva” da Terra vista do espaço (
), mas a temperatura média real da superfície é maior por causa do efeito estufa.
Resposta
(a)
(b)
(b)