A terceira lei de Kepler para o sistema Sol (massa M) - planeta (massa m) pode ser escrita da seguinte forma:
onde
é a distância Sol-planeta (semi-eixo maior) e
é o período orbital do planeta (em primeira ordem,
pode ser desprezado em comparação com
). No sistema SI, a constante da gravitação tem o valor
. Usando em vez de unidades M.K.S. (metro - kg - segundo), a unidade astronômica
, a massa solar
kg e o ano trópico ( 1 ano
dias), calcule a constante
e compare com o fator numérico da terceira lei de Kepler.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a constante gravitacional
expressa nas unidades usando as conversões fornecidas. - Comparar esse valor com o fator numérico que aparece na terceira lei de Kepler escrita como
.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
(outro dado implícito)
.
Passo 2
Como vamos converter
para as unidades pedidas (breve aula): a constante
tem dimensão
. Se escrevemos o mesmo número
em unidades
, então, em notação simbólica, se
,
e
, a relação entre os valores numéricos é
Explicação do porquê: multiplicamos
por
porque queremos trocar o fator
por
(ou seja,
), e multiplicamos por
e dividimos por
para efetuar a mudança de
para
e de
para
. Isso é apenas algebra de unidades.
Passo 3
Converter
para segundos (passo simples, mostrado detalhadamente):
Calculemos:
Logo
.
Passo 4
Calcular o produto
(vou mostrar com as potências de 10 explicadas):
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
e o expoente é
. Portanto
(Unidade:
.)
Passo 5
Calcular
(mostrando passo a passo):
(Nota sobre o cálculo: multipliquei
por si mesmo para obter o valor acima.)
Passo 6
Multiplicar os termos do numerador:
:
(Produto dos coeficientes
e soma dos expoentes
, escrito como
.)
Passo 7
Calcular o denominador
:
portanto
Passo 8
Dividir numerador por denominador para obter
nas unidades pedidas:
Logo numericamente obtemos
Passo 9
Comparação com o fator da terceira lei de Kepler:
- Calculemos
:
Portanto o valor de
obtido nas unidades
coincide (dentro do erro de arredondamento) com
. Isso implica que, nessas unidades, o fator
vale aproximadamente
, e a terceira lei de Kepler simplifica para
quando
está em
,
em anos e
em
. Esse é o motivo prático pelo qual, em astronomia, se costuma escrever simplesmente
(com as unidades citadas).