A terceira lei de Kepler para o sistema Sol (massa M) - planeta (massa m) pode ser escrita da seguinte forma:
M+m=\frac{4 \pi^{2} a^{3}}{G P^{2}}
onde a é a distância Sol-planeta (semi-eixo maior) e P é o período orbital do planeta (em primeira ordem, m pode ser desprezado em comparação com M ). No sistema SI, a constante da gravitação tem o valor G=6,6726 \cdot 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~s}^{-2}. Usando em vez de unidades M.K.S. (metro - kg - segundo), a unidade astronômica 1 \mathrm{UA}=1,496 \times 10^{11} \mathrm{~m}, a massa solar 1 \mathrm{M}_{\odot}=1,989 \times 10^{30} kg e o ano trópico ( 1 ano =365,242 dias), calcule a constante G e compare com o fator numérico da terceira lei de Kepler.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a constante gravitacional G expressa nas unidades \mathrm{UA}^{3}\,\mathrm{M}_{\odot}^{-1}\,\mathrm{ano}^{-2} usando as conversões fornecidas.
  • Comparar esse valor com o fator numérico que aparece na terceira lei de Kepler escrita como \displaystyle M+m=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{G P^{2}}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
G_{\text{SI}}=6{,}6726\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}
1\\ \mathrm{UA}=1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m}
1\\ \mathrm{M}_{\odot}=1{,}989\times10^{30}\\ \mathrm{kg}
1\\ \text{ano (trop.)}=365{,}242\\ \text{dias}
(outro dado implícito) 1\\ \text{dia}=86400\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Como vamos converter G para as unidades pedidas (breve aula): a constante G tem dimensão \mathrm{[length]}^{3}\,\mathrm{[mass]}^{-1}\,\mathrm{[time]}^{-2}. Se escrevemos o mesmo número G em unidades \mathrm{UA}^{3}\,\mathrm{M}_{\odot}^{-1}\,\mathrm{ano}^{-2}, então, em notação simbólica, se 1\\ \mathrm{UA}=L\\ \mathrm{m}, 1\\ \mathrm{M}_{\odot}=M\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{ano}=T\\ \mathrm{s}, a relação entre os valores numéricos é
G_{\text{(UA,}\,\mathrm{M}_\odot,\text{ano)}}=G_{\text{SI}}\cdot\frac{M\;T^{2}}{L^{3}}.
Explicação do porquê: multiplicamos G_{\text{SI}} por M porque queremos trocar o fator kg^{-1} por \mathrm{M}_{\odot}^{-1} (ou seja, kg^{-1}=(\mathrm{M}_{\odot})^{-1}\cdot(\mathrm{M}_{\odot}/kg)), e multiplicamos por T^{2} e dividimos por L^{3} para efetuar a mudança de s^{-2} para \mathrm{ano}^{-2} e de m^{3} para \mathrm{UA}^{3}. Isso é apenas algebra de unidades.

Passo 3

Converter 1\\ \text{ano} para segundos (passo simples, mostrado detalhadamente):
1\\ \text{ano}=365{,}242\\ \text{dias}\times86400\\ \frac{\text{s}}{\text{dia}}=365{,}242\times86400\\ \text{s}.
Calculemos:
365{,}242\times86400=31556908{,}8\\ \text{s}.
Logo T=31556908{,}8\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular o produto G_{\text{SI}}\times M (vou mostrar com as potências de 10 explicadas):
G_{\text{SI}}\times M = 6{,}6726\times10^{-11}\times 1{,}989\times10^{30}.
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
6{,}6726\times 1{,}989 \approx 13{,}2718014
e o expoente é -11+30=19. Portanto
G_{\text{SI}}\times M \approx 1{,}32718014\times10^{20}.
(Unidade: \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}.)

Passo 5

Calcular T^{2} (mostrando passo a passo):
T=31556908{,}8\\ \text{s}\quad\Rightarrow\quad T^{2}=(31556908{,}8)^{2}.
T^{2}\approx 9{,}95839278\times10^{14}\\ \text{s}^{2}.
(Nota sobre o cálculo: multipliquei 3{,}15569088\times10^{7} por si mesmo para obter o valor acima.)

Passo 6

Multiplicar os termos do numerador: G_{\text{SI}}\times M \times T^{2}:
1{,}32718014\times10^{20}\times 9{,}95839278\times10^{14}
\approx 1{,}321658\times10^{35}.
(Produto dos coeficientes \approx 13{,}21658 e soma dos expoentes 20+14=34, escrito como 1{,}321658\times10^{35}.)

Passo 7

Calcular o denominador (1\\ \mathrm{UA})^{3}:
(1{,}496\times10^{11})^{3}=1{,}496^{3}\times10^{33}.
1{,}496^{3}\approx 3{,}348071936
portanto
(1\\ \mathrm{UA})^{3}\approx 3{,}348071936\times10^{33}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 8

Dividir numerador por denominador para obter G nas unidades pedidas:
G_{\text{(UA,}\,\mathrm{M}_\odot,\text{ano)}}=\frac{1{,}321658\times10^{35}}{3{,}348071936\times10^{33}}
\approx 39{,}4784176.
Logo numericamente obtemos
G\approx 39{,}4784176\\ \mathrm{UA}^{3}\,\mathrm{M}_{\odot}^{-1}\,\mathrm{ano}^{-2}.

Passo 9

Comparação com o fator da terceira lei de Kepler:
  • Calculemos 4\pi^{2}:
4\pi^{2}\approx 4\times 9{,}869604401\approx 39{,}4784176.
Portanto o valor de G obtido nas unidades \mathrm{UA}^{3}\,\mathrm{M}_{\odot}^{-1}\,\mathrm{ano}^{-2} coincide (dentro do erro de arredondamento) com 4\pi^{2}. Isso implica que, nessas unidades, o fator \dfrac{4\pi^{2}}{G} vale aproximadamente 1, e a terceira lei de Kepler simplifica para
M+m=\frac{a^{3}}{P^{2}}
quando a está em \mathrm{UA}, P em anos e M em \mathrm{M}_{\odot}. Esse é o motivo prático pelo qual, em astronomia, se costuma escrever simplesmente M+m=a^{3}/P^{2} (com as unidades citadas).

Resposta

\displaystyle G\approx 39{,}4784176\\ \mathrm{UA}^{3}\,\mathrm{M}_{\odot}^{-1}\,\mathrm{ano}^{-2}\newline
\displaystyle 4\pi^{2}\approx 39{,}4784176\Rightarrow \frac{4\pi^{2}}{G}\approx 1, portanto a terceira lei fica \displaystyle M+m=\frac{a^{3}}{P^{2}} (com a em \mathrm{UA}, P em anos, M em \mathrm{M}_{\odot}).

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